السرعة والتسارع باستخدام المشتقات والتكاملات
الفكرة
إذا كانت دالة الموضع s(t) تصف مكان جسم مع الزمن، فإن السرعة هي مشتقة الموضع، والتسارع هو مشتقة السرعة. وبالعكس يمكن استخدام التكامل للانتقال من التسارع إلى السرعة أو من السرعة إلى الموضع.
العلاقات الأساسية
العلاقات المهمة هي: \(v(t)=s'(t)\) و\(a(t)=v'(t)=s''(t)\). وإذا عُرفت السرعة فإن الإزاحة على فترة تساوي \(\int_a^b v(t)\,dt\).
مثال محلول 1
إذا كان s(t)=t3-6t2+9t، فإن v(t)=3t2-12t+9 وa(t)=6t-12. عند t=2 تكون السرعة v(2)=12-24+9=-3.
مثال محلول 2
إذا كانت السرعة v(t)=2t+1، فإن الإزاحة من t=0 إلى t=3 هي \(\int_0^3(2t+1)dt=[t^2+t]_0^3=12\).
فرق مهم
الإزاحة قد تكون موجبة أو سالبة لأنها تراعي الاتجاه. أما المسافة الكلية فتحتاج إلى جمع القيم المطلقة للمسافات المقطوعة، وهذا قد يتطلب تحديد فترات تغير إشارة السرعة.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.