الاحتمال الشرطي
التعريف
الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع حدث بعد أن نعرف أن حدثًا آخر قد وقع. يكتب بالشكل \(P(A|B)\)، ويقرأ: احتمال A بشرط حدوث B. هذه العلامة لا تعني قسمة عادية في المعنى، بل تعني أن فضاء العينة قد أصبح محدودًا داخل الحدث B.
القانون
إذا كان P(B)>0، فإن \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\). الفكرة أن المقام لم يعد فضاء العينة كله، بل الحدث B فقط. لذلك نقيس الجزء المشترك بين A وB مقارنة بـ B.
مثال بسيط
في صف فيه 20 طالبًا، 12 طالبًا يدرسون الرياضيات، و8 يدرسون الفيزياء، و5 يدرسون المادتين. إذا علمنا أن الطالب يدرس الفيزياء، فما احتمال أنه يدرس الرياضيات؟ هنا A: يدرس الرياضيات، وB: يدرس الفيزياء. المطلوب \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{5/20}{8/20}=\frac{5}{8}\).
مثال من البطاقات
سحبت بطاقة من مجموعة أوراق عادية. إذا علمنا أن البطاقة حمراء، فما احتمال أن تكون قلبًا؟ عدد البطاقات الحمراء 26، وعدد بطاقات القلب 13، وكل القلب حمراء. إذن \(P(قلب | حمراء)=\frac{13}{26}=\frac{1}{2}\).
الاحتمال الشرطي والاستقلال
إذا كان \(P(A|B)=P(A)\)، فهذا يعني أن حدوث B لم يغير احتمال A، فنقول إن الحدثين مستقلان. أما إذا تغير الاحتمال، فهما تابعان أو غير مستقلين. مثلًا السحب دون إرجاع يجعل الاحتمالات تتغير؛ لأن البطاقة الأولى تؤثر في عدد البطاقات الباقية.
أخطاء شائعة
أكبر خطأ هو استخدام المقام القديم بدل المقام الجديد. عندما يقول السؤال "إذا علمنا" أو "بشرط أن"، فأنت لا تعمل على فضاء العينة الكامل. كذلك يجب الانتباه إلى ترتيب الشرط: \(P(A|B)\) ليست دائمًا مساوية لـ \(P(B|A)\). قلب الشرط دون انتباه يشبه تبديل العنوان على ظرف البريد ثم الاستغراب من ضياعه.
خطوات الحل
حدد الحدث المطلوب والحدث المشروط. اكتب الرمز الصحيح. احسب التقاطع. اجعل المقام هو احتمال الحدث الموجود بعد خط الشرط. إذا كانت البيانات في جدول، فانتقل إلى الصف أو العمود الموافق للشرط ثم احسب النسبة داخله فقط.