المعادلات التفاضلية البسيطة والشروط الابتدائية
ما المعادلة التفاضلية؟
المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن دالة مجهولة ومشتقة واحدة أو أكثر لهذه الدالة. بدل أن نبحث عن عدد مثل x=3، نبحث هنا عن دالة كاملة تحقق العلاقة. مثال بسيط: \(\frac{dy}{dx}=2x\). الحل هو دالة مشتقتها 2x، أي y=x2+C.
الحل العام والحل الخاص
عند التكامل تظهر ثابتة C، لذلك يسمى الناتج حلًا عامًا. إذا أعطيت لنا معلومة إضافية مثل y(1)=5، فإنها تسمى شرطًا ابتدائيًا وتستخدم لتحديد قيمة C، وعندها نحصل على حل خاص. الشرط الابتدائي هو الذي يمنع الحل من أن يبقى عائلة كاملة من الدوال.
فصل المتغيرات
بعض المعادلات التفاضلية يمكن حلها بفصل المتغيرات، أي جعل كل ما يتعلق بـ y في جهة وكل ما يتعلق بـ x في الجهة الأخرى، ثم نكامل الطرفين. إذا كانت المعادلة على الصورة \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)، فغالبًا يمكن فصلها.
مثال محلول 1
حل المعادلة \(\frac{dy}{dx}=6x^2\). نكامل الطرفين بالنسبة إلى x: \(y=\int 6x^2 dx=2x^3+C\). هذا هو الحل العام.
مثال محلول 2 مع شرط ابتدائي
حل \(\frac{dy}{dx}=4x\) إذا كان y(2)=10. بالتكامل: y=2x2+C. نستخدم الشرط: 10=2(2)2+C=8+C، إذن C=2. الحل الخاص هو y=2x2+2.
مثال فصل متغيرات
حل \(\frac{dy}{dx}=xy\). نفصل: \(\frac{1}{y}dy=x dx\). نكامل: \(\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\). إذن y=Cex2/2 بعد إعادة تسمية الثابت. إذا أعطي شرط ابتدائي مثل y(0)=3، نحصل على C=3، فيكون y=3ex2/2.
تنبيهات
لا تنس ثابت التكامل. في المعادلات التفاضلية، نسيان C ليس خطأ صغيرًا؛ إنه يغير طبيعة الحل. كذلك لا تستخدم الشرط الابتدائي قبل إيجاد الحل العام، بل بعده. وإذا فصلت المتغيرات، فتأكد أنك لم تقسم على مقدار قد يساوي صفرًا دون الانتباه للحلول الخاصة.