القطع الناقص: المركز والرأسان والبؤرتان
التعريف
القطع الناقص هو مجموعة النقاط التي يكون مجموع بُعديها عن نقطتين ثابتتين، تسمى كل منهما بؤرة، مقدارًا ثابتًا. يظهر القطع الناقص في المدارات وبعض تطبيقات الفيزياء والهندسة، لكنه في الاختبار يظهر غالبًا على شكل معادلة نحتاج إلى تحليلها.
الصورة القياسية
إذا كان المركز (h,k) والمحور الأكبر أفقيًا، فالصورة هي \(\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\) حيث a2>b2. وإذا كان المقام الأكبر تحت حد y فالمحور الأكبر رأسي.
البؤرتان والعلاقة الأساسية
لإيجاد البؤرتين نستخدم العلاقة c2=a2-b2. إذا كان المحور الأكبر أفقيًا فالبؤرتان هما \((h\pm c,k)\). وإذا كان رأسيًا فهما \((h,k\pm c)\).
مثال محلول 1
حلل المعادلة \(\frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{9}=1\). المركز (1,-2). لأن 25>9 فالمحور الأكبر أفقي، وa=5 وb=3. نحسب c2=25-9=16، إذن c=4. البؤرتان (-3,-2) و(5,-2).
مثال محلول 2
في المعادلة \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{36}=1\) يكون المحور الأكبر رأسيًا لأن 36 تحت y2. إذن a=6، b=4، و\(c=\sqrt{20}=2\sqrt5\).
أخطاء شائعة
أكبر خطأ هو اختيار a من حد x دائمًا. الصحيح أن a2 هو المقام الأكبر في القطع الناقص، سواء كان تحت x أو y.
خلاصة سريعة
هذا الدرس يساعد الطالب على فهم فكرة السؤال قبل اختيار القانون. أفضل طريقة للمذاكرة هي حل مثالين على الأقل بعد قراءة القاعدة، ثم مقارنة الخطوات لا الناتج فقط.