قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي
الفكرة
قانون المسافة بين نقطتين هو تطبيق مباشر لنظرية فيثاغورس داخل المستوى الإحداثي. إذا كانت لدينا نقطتان A(x1,y1) وB(x2,y2)، فإن الفرق الأفقي بينهما هو x2-x1، والفرق الرأسي هو y2-y1. هذان الفرقان يصنعان ضلعي مثلث قائم، والمسافة المطلوبة هي الوتر.
القانون
المسافة بين النقطتين A(x1,y1) وB(x2,y2) هي: \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). لا يهم ترتيب النقطتين؛ لأن التربيع يجعل الإشارة موجبة. لكن من الأفضل أن تثبت ترتيبك حتى لا تختلط عليك الحسابات.
متى نستخدمه؟
نستخدم قانون المسافة عند السؤال عن طول قطعة مستقيمة بين نقطتين، أو عند التحقق من نوع مثلث، أو إيجاد نصف قطر دائرة من مركزها إلى نقطة عليها، أو مقارنة أطوال أضلاع شكل هندسي في المستوى. إنه قانون صغير لكنه يفتح بابًا واسعًا في الهندسة التحليلية.
مثال محلول 1
أوجد المسافة بين A(2,3) وB(6,6). نطبق القانون: \(d=\sqrt{(6-2)^2+(6-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\). إذن المسافة تساوي 5 وحدات.
مثال محلول 2
أوجد طول نصف قطر دائرة مركزها C(-1,4) وتمر بالنقطة P(2,8). نصف القطر هو المسافة بين المركز والنقطة: \(r=\sqrt{(2-(-1))^2+(8-4)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\). إذن نصف القطر 5.
مثال تطبيقي
إذا كانت رؤوس مثلث هي A(0,0)، B(4,0)، C(4,3)، فإن AB=4، وBC=3، وAC=5. بما أن 32+42=52، فالمثلث قائم الزاوية. هنا جمعنا بين قانون المسافة وعكس نظرية فيثاغورس.
أخطاء شائعة
من أكثر الأخطاء تكرارًا نسيان الجذر في النهاية، أو جمع الفروق دون تربيعها، أو خلط إحداثيات x مع y. تذكر: فرق أفقي، فرق رأسي، تربيع، جمع، جذر. خمس كلمات تكفي لإنقاذ درجة كاملة في الاختبار.