الاشتقاق والمشتقات الأساسية
المشتقة تقيس معدل تغير الدالة. في الرسم البياني تمثل ميل المماس عند نقطة معينة، وفي التطبيقات تمثل سرعة التغير مثل السرعة اللحظية أو معدل النمو.
الفكرة الأساسية
إذا كانت الدالة تتغير بسرعة كبيرة، تكون قيمة المشتقة كبيرة. وإذا كانت الدالة ثابتة، فمشتقتها صفر؛ لأنها لا تتغير أصلًا، وهذا أكثر موقف هادئ في الرياضيات.
قواعد مهمة
- مشتقة الثابت c هي 0.
- مشتقة x هي 1.
- قاعدة القوة: مشتقة x^n هي n x^(n-1).
- مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتيهما.
- الثابت المضروب في دالة يبقى كما هو ويُضرب في مشتقة الدالة.
مثال محلول
إذا كانت f(x) = 3x4 - 5x2 + 7x - 9، فإن f'(x) = 12x3 - 10x + 7. الثابت -9 مشتقته صفر.
مشتقة عند نقطة
إذا أردنا ميل المماس عند x = 2 في الدالة السابقة، نعوض في المشتقة: f'(2) = 12(8) - 10(2) + 7 = 96 - 20 + 7 = 83.
أخطاء شائعة
- نسيان إنقاص الأس واحدًا في قاعدة القوة.
- اعتبار مشتقة الثابت مساوية للثابت نفسه.
- تطبيق قاعدة الضرب على الجمع بلا داعٍ.
تدريب سريع
أوجد مشتقة g(x) = 4x3 + 2x - 6. الجواب: g'(x) = 12x2 + 2.