التحويل بين الكسور والأعداد العشرية الدورية والأعداد الكسرية السالبة
شَرطة الكسر تعني القسمة، لذلك لتحويل \(\frac{a}{b}\) إلى عدد عشري نحسب \(a\div b\). يكون الناتج منتهيًا أو دوريًا ما دام الكسر نسبيًا.
كسر إلى عدد عشري
\(\frac3{10}=0.3\)، و\(\frac3{25}=\frac{12}{100}=0.12\)، و\(-\frac78=-0.875\).
العدد العشري الدوري
إذا تكررت مجموعة أرقام بلا نهاية نضع خطًا فوق الجزء المتكرر: \(\frac59=0.\overline5\)، و\(-\frac3{11}=-0.\overline{27}\).
الأعداد الكسرية
لتحويل \(-6\frac12\) نحافظ على الإشارة على العدد كله: \(-\left(6+\frac12\right)=-6.5\). ولتحويل \(2\frac6{11}\): \(2+0.\overline{54}=2.\overline{54}\).
عدد عشري إلى كسر
نعتمد على القيمة المكانية: \(-0.2=-\frac2{10}=-\frac15\)، و\(5.96=5\frac{96}{100}=5\frac{24}{25}\).
متى ينتهي التمثيل العشري؟
بعد تبسيط الكسر، ينتهي تمثيله العشري إذا كانت العوامل الأولية للمقام من 2 و5 فقط. أما وجود عامل آخر مثل 3 أو 11 فيؤدي إلى تمثيل دوري.
خطوات عملية
- بسّط الكسر.
- اقسم البسط على المقام، أو حوّل المقام إلى قوة للعدد 10 إن أمكن.
- اكتب الجزء المتكرر بدقة.
- في العدد السالب ضع الإشارة على القيمة كاملة.
- عند العودة إلى كسر، بسّط الناتج.
أخطاء شائعة
- وضع الإشارة السالبة على الجزء الصحيح وحده.
- إيقاف عدد دوري واعتباره منتهيًا.
- عدم تبسيط الكسر الناتج.
- الخلط بين \(0.\overline{3}\) و0.3.
تصنيف الصورة العشرية من المقام
نبسط الكسر أولًا. إذا أصبح المقام على صورة 2^m5^n، فالتمثيل منتهٍ. مثل \(\frac3{40}\) لأن \(40=2^3\times5\)، ولذلك \(\frac3{40}=0.075\). أما \(\frac2{15}\) ففي مقامه العامل 3، لذا تمثيله دوري.
أمثلة طويلة القسمة
لتحويل \(\frac38\)، نقسم 3.000 على 8: الناتج 0.375. ولتحويل \(\frac59\)، يظهر الباقي نفسه بعد كل خطوة، فيتكرر الرقم 5: \(0.\overline5\).
التمييز بين أنواع الكتابة
- 0.333 عدد عشري منتهٍ يساوي \(\frac{333}{1000}\).
- \(0.\overline3\) عدد دوري يساوي \(\frac13\).
- \(2.\overline{54}=2.545454\ldots\).
تحويل عدد كسري سالب
\(-4\frac4{25}=-\left(4+\frac4{25}\right)\). وبما أن \(\frac4{25}=\frac{16}{100}=0.16\)، فالنتيجة -4.16، وليست -3.84.
من عشري إلى كسر باستخدام القيمة المكانية
\(2.85=2+\frac{85}{100}=2+\frac{17}{20}=2\frac{17}{20}\). و\(-0.66=-\frac{66}{100}=-\frac{33}{50}\).
التقريب لا يعني المساواة
\(\frac13=0.333\ldots\)، أما 0.33 فهو تقريب إلى جزء من مئة. نكتب \(\frac13\approx0.33\) لا علامة المساواة إذا توقفنا بعد منزلتين.
تدريبات
- \(\frac18=0.125\).
- \(-\frac89=-0.\overline8\).
- \(9\frac38=9.375\).
- \(10.5=10\frac12\).