ضرب وقسمة الأعداد النسبية والكسور ذات الإشارات
العدد النسبي يكتب على الصورة \(\frac{a}{b}\) حيث \(b\ne0\). قبل إجراء العملية نحدد الإشارة، ثم نتعامل مع القيم المطلقة.
ضرب الكسور
\(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\). والأفضل الاختصار التبادلي قبل الضرب.
مثال: \(-\frac13\times-\frac37=\frac17\). الإشارتان متماثلتان، فالناتج موجب.
قسمة الكسور
نضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني: \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\)، بشرط \(c\ne0\).
مثال: \(-\frac45\div\frac89=-\frac45\times\frac98=-\frac9{10}\).
الأعداد الكسرية
نحوّلها إلى كسور غير فعلية أولًا. مثلًا \(-1\frac78=-\frac{15}{8}\)، و\(-2\frac25=-\frac{12}{5}\)، ومن ثم حاصل ضربهما \(\frac{180}{40}=\frac92=4\frac12\).
اختيار الإشارة
- المتماثلتان تعطيان موجبًا.
- المختلفتان تعطيان سالبًا.
- في عدة عوامل نعد العوامل السالبة.
مسائل تطبيقية
إذا كان الوزن على المريخ \(\frac25\) الوزن على الأرض ووزن الجسم \(80\frac12\) رطلًا، فإن \(\frac25\times\frac{161}{2}=\frac{161}{5}=32\frac15\) رطلًا.
خطوات الحل
- حوّل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية.
- حدد الإشارة.
- في القسمة اقلب الكسر الثاني واضرب.
- اختصر العوامل المشتركة.
- حوّل الناتج إلى عدد كسري إذا لزم.
أخطاء شائعة
- قلب الكسر الأول بدل الثاني.
- جمع البسوط والمقامات في الضرب.
- عدم وضع إشارة العدد الكسري السالب على العدد كله.
- نسيان تبسيط الناتج.
الاختصار قبل الضرب
في \(\frac47\times\frac78\)، نختصر 7 مع 7، و4 مع 8، فنحصل مباشرة على \(\frac12\). الاختصار قبل الضرب يقلل الأعداد ويمنع أخطاء الحساب.
أمثلة على الأعداد الكسرية
مثال 1: \(2\frac14\times\frac23=\frac94\times\frac23=\frac{18}{12}=\frac32=1\frac12\).
مثال 2: \(2\frac13\div5=\frac73\div\frac51=\frac73\times\frac15=\frac7{15}\).
مثال 3: \(-\frac78\div\frac34=-\frac78\times\frac43=-\frac76=-1\frac16\).
العدد الصحيح على صورة كسر
نكتب \(-4=-\frac41\) و\(5=\frac51\). لذلك \(\frac23\times(-4)=-\frac83=-2\frac23\)، و\(5\div1\frac13=\frac51\times\frac34=\frac{15}{4}=3\frac34\).
معدل الوحدة
إذا قطعت منى \(3\frac25=\frac{17}{5}\) كم في \(1\frac12=\frac32\) ساعة، فالمعدل:
\(\frac{17}{5}\div\frac32=\frac{17}{5}\times\frac23=\frac{34}{15}=2\frac4{15}\) كم/ساعة.
التعامل مع عدة كسور
إذا قام \(\frac23\) الطلاب بنشاط، ومنهم \(\frac14\) شاهدوا برنامجًا، ومن هؤلاء \(\frac38\) سجلوه، فالجزء من جميع الطلاب هو \(\frac23\times\frac14\times\frac38=\frac1{16}\).
اختبار معقولية الناتج
- الضرب في كسر موجب أصغر من 1 يقلل المقدار.
- القسمة على كسر موجب أصغر من 1 تزيد المقدار.
- الإشارة تحددها قواعد الإشارات، لا حجم الكسر.
تدريبات
- \(-\frac1{12}\times\frac25=-\frac1{30}\).
- \(\frac38\div\frac67=\frac7{16}\).
- \(6\div(-\frac12)=-12\).
- \(-\frac49\div(-2)=\frac29\).