جمع وطرح الأعداد النسبية والكسور الموجبة والسالبة
العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على الصورة \(\frac{a}{b}\)، حيث a وb عددان صحيحان و\(b\ne0\). وتشمل الأعداد النسبية الكسور الموجبة والسالبة، والأعداد الصحيحة، والأعداد الكسرية، والأعداد العشرية المنتهية أو الدورية.
الفكرة الرياضية الأساسية
لجمع كسرين أو طرحهما يجب أولاً أن تكون أجزاؤهما من النوع نفسه؛ أي يجب توحيد المقامات. بعد ذلك نجمع البسطين أو نطرحهما مع المحافظة على المقام المشترك، ثم نبسّط الناتج.
إذا كان a,b,c أعداداً صحيحة و\(c\ne0\)، فإن:
- \(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\)
- \(\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}\)
قواعد الإشارات في الجمع
- الإشارتان متماثلتان: نجمع القيمتين المطلقـتين ونحتفظ بالإشارة المشتركة؛ مثال: \(-\frac{2}{7}+\left(-\frac{3}{7}\right)=-\frac{5}{7}\).
- الإشارتان مختلفتان: نطرح القيمة المطلقة الأصغر من الأكبر، ونضع إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر؛ مثال: \(-\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\).
قاعدة الطرح: أضف المعكوس الجمعي
طرح عدد نسبي يعادل جمع معكوسه الجمعي:
a-b=a+(-b)
وبالتالي:
- \(\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{5}\)
- \(-\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\)
عندما تكون المقامات مختلفة
نوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، ثم نكتب كسرين مكافئين لهما المقام نفسه.
مثال 1: أوجد \(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}\).
المقام المشترك الأصغر هو 6، و\(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\)، لذلك:
\(\frac{1}{6}+\frac{4}{6}=\frac{5}{6}\)
مثال 2: أوجد \(-\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{4}\right)\).
المقام المشترك الأصغر هو 12:
\(-\frac{1}{3}=-\frac{4}{12}\)، و\(-\frac{1}{4}=-\frac{3}{12}\)
إذن \(-\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=-\frac{7}{12}\).
مثال 3: أوجد \(\frac{1}{2}-\left(-\frac{2}{5}\right)\).
نحوّل الطرح إلى جمع المعكوس:
\(\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{5}{10}+\frac{4}{10}=\frac{9}{10}\).
جمع وطرح الأعداد الكسرية
يمكن الحل بطريقتين: توحيد الأجزاء الكسرية، أو تحويل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي. الطريقة الثانية أكثر أماناً عند وجود أعداد سالبة.
مثال 4: أوجد \(3\frac{1}{4}+2\frac{5}{6}-4\frac{1}{3}\).
نحوّل إلى كسور غير فعلية:
\(3\frac{1}{4}=\frac{13}{4}\)، و\(2\frac{5}{6}=\frac{17}{6}\)، و\(4\frac{1}{3}=\frac{13}{3}\).
المقام المشترك الأصغر هو 12:
\(\frac{39}{12}+\frac{34}{12}-\frac{52}{12}=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}\).
مسائل الباقي
إذا كان جزء من الكمية قد استُخدم أو أُنفق، فإن الباقي يساوي الكمية الكلية ناقص مجموع الأجزاء المستخدمة.
مثال 5: ادّخر طالب \(\frac{1}{5}\) من مصروفه وأنفق \(\frac{2}{3}\) منه. ما الجزء المتبقي؟
\(1-\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}\right)=1-\left(\frac{3}{15}+\frac{10}{15}\right)=1-\frac{13}{15}=\frac{2}{15}\).
طريقة الحل في الاختبار
- حدّد العملية: جمع أم طرح.
- حوّل الطرح إلى جمع المعكوس إذا وُجدت إشارات سالبة.
- إن اختلفت المقامات، أوجد المضاعف المشترك الأصغر.
- اكتب كسوراً مكافئة ذات مقام مشترك.
- اجمع أو اطرح البسوط فقط.
- بسّط الكسر، وحوّل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري إذا طُلب ذلك.
- راجع إشارة الناتج وحجمه التقريبي.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- جمع المقامات: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ne\frac{2}{7}\).
- نسيان تغيير إشارة العدد المطروح: a-(-b)=a+b.
- تغيير المقام دون ضرب البسط في العامل نفسه.
- التعامل مع العدد الكسري السالب كأن الإشارة تخص الجزء الصحيح فقط.
- ترك الناتج دون تبسيط.
تحقق سريع
أوجد \(-\frac{5}{6}+\frac{1}{4}\).
المقام المشترك 12: \(-\frac{10}{12}+\frac{3}{12}=-\frac{7}{12}\).
الناتج سالب، وهذا منطقي لأن \(\left| -\frac{5}{6}\right|>\left|\frac{1}{4}\right|\).
خلاصة سريعة
وحّد المقامات، وحوّل الطرح إلى جمع المعكوس، ثم طبّق قواعد الإشارات على البسوط وبسّط الناتج. تقدير قيمة الجواب قبل الاختيار يساعد على اكتشاف أخطاء الإشارة والحساب.