أصفار كثيرات الحدود ونظرية العامل ونظرية الجذر النسبي
مدخل عام
كثيرة الحدود هي دالة مكونة من حدود جبرية ذات أسس صحيحة غير سالبة مثل f(x)=2x3-3x2-8x+12. أصفار كثيرة الحدود هي قيم x التي تجعل f(x)=0. هذه الأصفار مهمة لأنها تساعدنا على تحليل كثيرة الحدود، ورسمها، وفهم تقاطعها مع محور x.
نظرية العامل
تنص نظرية العامل على أن (x-c) يكون عاملًا في f(x) إذا وفقط إذا كان f(c)=0. بمعنى آخر: إذا عوضت بقيمة c فكان الناتج صفرًا، فإن (x-c) عامل من عوامل كثيرة الحدود. هذه النظرية تختصر وقتًا طويلًا في الاختبارات؛ بدل التحليل العشوائي، اختبر القيم المرشحة.
نظرية الجذر النسبي
إذا كانت كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة، فإن أي جذر نسبي محتمل على الصورة \(\frac{p}{q}\)، حيث p عامل في الحد الثابت، و q عامل في المعامل الرئيسي. هذه النظرية لا تعطي الجذور مباشرة، لكنها تعطي قائمة مرشحين نختبرها.
خطوات عملية
أولًا: اكتب عوامل الحد الثابت. ثانيًا: اكتب عوامل المعامل الرئيسي. ثالثًا: كوّن القيم المحتملة \(\pm\frac{p}{q}\). رابعًا: اختبر القيم بالتعويض أو القسمة التركيبية. خامسًا: إذا وجدت جذرًا، اقسم كثيرة الحدود على العامل الموافق ثم أكمل التحليل.
مثال محلول
أوجد أصفار f(x)=x3-4x2-x+4. نلاحظ بالتجميع: x2(x-4)-1(x-4)=(x2-1)(x-4)=(x-1)(x+1)(x-4). إذن الأصفار هي x=1، و x=-1، و x=4. وبحسب نظرية العامل فإن (x-1)، و (x+1)، و (x-4) عوامل في كثيرة الحدود.
مثال باستخدام الجذر النسبي
لدينا g(x)=2x3-3x2-8x+12. الحد الثابت 12، والمعامل الرئيسي 2؛ لذلك من الجذور النسبية المحتملة: \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2}\). بالتعويض نجد أن g(2)=16-12-16+12=0، إذن x=2 جذر و (x-2) عامل. بعد القسمة نحصل على 2x2+x-6، وهذا يتحلل إلى (2x-3)(x+2). إذن الأصفار: \(2,\frac{3}{2},-2\).
ملاحظات
ليس كل جذر حقيقيًا، وليس كل جذر نسبيًا. نظرية الجذر النسبي تساعد فقط في الجذور النسبية المحتملة. إذا لم تنجح القيم المرشحة، فقد تحتاج إلى طرق أخرى مثل القانون العام أو التحليل العددي أو استخدام الأعداد المركبة.