الكسور الجزئية وتكامل الدوال الكسرية
الفكرة
الكسور الجزئية تحول كسرًا جبريًا معقدًا إلى مجموع كسور أبسط، وهذا يجعل التكامل أسهل. المقال الموجود عن الكسور الجزئية قبل التكامل يعطي الأساس، وهذا المقال يركز على التطبيق داخل التكامل نفسه.
متى نستخدمها؟
نستخدمها عندما يكون لدينا كسر جبري مثل \(\frac{3x+5}{(x+1)(x-2)}\) ونريد تكامله. نقسمه إلى كسور أبسط مقام كل منها عامل من عوامل المقام.
مثال محلول 1
حلل \(\frac{3x+5}{(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}\). بالضرب في المقام نحصل على 3x+5=A(x-2)+B(x+1). ثم نوجد A,B بالتعويض أو بمقارنة المعاملات.
مثال محلول 2
بعد التحليل، يصبح التكامل مجموع تكاملات على صورة \(\int\frac{A}{x-a}dx=A\ln|x-a|+C\). هذه هي الفائدة الحقيقية من الكسور الجزئية.
تنبيه
إذا كانت درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام، يجب إجراء قسمة كثيرة الحدود أولًا قبل الكسور الجزئية.
خلاصة سريعة
هذا المقال يربط القاعدة بطريقة استخدامها في السؤال، ويعتمد على أمثلة محلولة تساعد الطالب على الانتقال من الحفظ إلى الفهم. الأفضل دائمًا إعادة حل الأمثلة يدويًا، لأن الرياضيات لا تُتعلّم بالمشاهدة فقط.