الدالة متعددة التعريف تستخدم أكثر من قاعدة، وتحدد لكل قاعدة جزءاً من المجال. ليست عدة دوال منفصلة، بل دالة واحدة تختار قاعدتها بحسب قيمة المدخل. تظهر في تعرفة الكهرباء والضرائب والشحن ودوال القيمة المطلقة.
كيف نقرأها؟
إذا كانت \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x\lt 1\x^2,&x\ge1\end{cases}\)، فنستخدم x+2 فقط عندما \(x\lt 1\)، ونستخدم x2 عندما \(x\ge1\). الشرط جزء من القاعدة ولا يجوز تجاهله.
الرسم
- ارسم كل قاعدة على المجال المخصص لها فقط.
- استخدم دائرة مفتوحة عند حد غير مشمول مثل \(\lt \).
- استخدم دائرة مغلقة عند حد مشمول مثل \(\le\).
- مجال الدالة هو اتحاد المجالات الجزئية، ومداه اتحاد قيم y الناتجة.
أمثلة محلولة
مثال 1: قيم الدالة
للدالة السابقة: f(-2)=0 لأن \(-2\lt 1\)، وf(1)=1 لأن \(1\ge1\)، وf(3)=9.
مثال 2: رسم وحدود
لدالة \(g(x)=\begin{cases}-x,&x\le0\2x+1,&x\gt 0\end{cases}\)، نضع نقطة مغلقة عند (0,0) للجزء الأول، ومفتوحة عند (0,1) للجزء الثاني.
مثال 3: نموذج أجرة
إذا كانت كلفة التوصيل 10 دراهم حتى 5 km، ثم 2 درهم لكل كيلومتر إضافي: C(d)=10 عندما \(0\lt d\le5\)، وC(d)=10+2(d-5) عندما \(d\gt 5\).
الاستمرارية عند نقطة الفصل
تكون الدالة مستمرة عند x=c إذا تساوت النهاية من اليسار والنهاية من اليمين وقيمة f(c). مثال: f(x)=x+1 قبل 2 وf(x)=3x-3 من 2 فصاعداً؛ القيمتان عند الحد تساويان 3، لذا الاتصال متحقق.
القيمة المطلقة كدالة متعددة التعريف
\(|x|=\begin{cases}-x,&x\lt 0\x,&x\ge0\end{cases}\). وتفيد هذه الصورة في حل المعادلات وفهم انعكاس الجزء السالب إلى أعلى المحور.
خطة الحل والتحقق
- حدد المعطيات والمطلوب، واكتب الرموز بمعناها الصحيح.
- اختر القاعدة المناسبة قبل إجراء الحساب.
- نفذ الخطوات بالتسلسل، ولا تختصر خطوة تغيّر الإشارة أو المجال.
- تحقق بالتعويض أو بالرسم أو بالتقدير، ثم اكتب الجواب بالصورة المطلوبة.
أخطاء شائعة
- اختيار القاعدة من شكلها لا من شرطها.
- رسم كل خط أو منحنى على المجال كله.
- وضع نقطتين مغلقتين عند حد واحد رغم أن الدالة يجب أن تعطي قيمة وحيدة.
- الخلط بين المجال والمدى.
تدريبات قصيرة مع الإجابات
- للدالة الأولى f(0)=2، وf(2)=4.
- إذا كان h(x)=1 لـ\(x\lt 3\) وx-2 لـ\(x\ge3\)، فإن h(3)=1.
- الدالة \(|x-4|\) تغير قاعدتها عند x=4.
خلاصة مركزة
الفهم الجيد لا يقوم على حفظ الصيغة وحدها، بل على معرفة سبب استخدامها، وقراءة أثر كل معامل، ومقارنة النتيجة بالسلوك المتوقع. اجعل الرسم أو التحقق العددي جزءاً ثابتاً من الحل.