جمع وطرح الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة

جمع وطرح الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة

الأعداد الصحيحة هي \(\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\). وتمثل القيم الموجبة زيادات أو مواقع فوق الصفر، والسالبة انخفاضات أو مواقع تحته.

جمع عددين لهما الإشارة نفسها

نجمع القيمتين المطلقتين ونحتفظ بالإشارة: -5+(-7)=-(5+7)=-12، و6+8=14.

جمع عددين مختلفي الإشارة

نطرح القيمة المطلقة الأصغر من الأكبر، ثم نضع إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر: -15+19=4، و10+(-12)=-2.

طرح الأعداد الصحيحة

نحوّل الطرح إلى جمع المعكوس: a-b=a+(-b). لذلك 4-(-12)=4+12=16، و-20-15=-20+(-15)=-35.

خط الأعداد

في الجمع نبدأ من العدد الأول: الموجب حركة إلى اليمين، والسالب حركة إلى اليسار. وفي الطرح نضيف المعكوس ثم نطبق قاعدة الجمع.

أمثلة تطبيقية

• كانت الحرارة \(-3^\circ\) ثم انخفضت 6 وارتفعت 4: \(-3-6+4=-5^\circ\).
• رصيد 152 درهمًا، سحب منه 20 ثم أودع 84: 152-20+84=216.
• الفرق بين \(31^\circ\) و\(-2^\circ\) هو \(31-(-2)=33^\circ\).

خطوات الحل

1. حوّل كل طرح إلى جمع معكوس.
2. حدد هل الإشارتان متماثلتان أم مختلفتان.
3. احسب بالقيم المطلقة.
4. ضع الإشارة الصحيحة.
5. تحقق على خط الأعداد.

أخطاء شائعة

• اعتبار -a-b فرقًا بين القيمتين؛ الصحيح أنه جمع عددين سالبين.
• نسيان أن طرح السالب يساوي إضافة الموجب.
• الخلط بين القيمة المطلقة والإشارة الأصلية.
• إهمال ترتيب العمليات في التعبيرات الطويلة.

نماذج تساعد على فهم الجمع

يمكن تمثيل الموجب بقطعة موجبة والسالب بقطعة سالبة. كل زوج (+1)+(-1) يساوي صفرًا. في 6+(-7) نحذف ستة أزواج صفرية، فيبقى -1.

أمثلة مركبة خطوة بخطوة

مثال 1:(-14)+(-6)+6.

نجمع العددين المتعاكسين -6+6=0، فيبقى -14. اختيار ترتيب ذكي يقلل الأخطاء.

مثال 2:-34+25+(-25).

25+(-25)=0، إذن الناتج -34.

مثال 3:-11-(-42).

نضيف المعكوس: -11+42=31.

الفرق بين المعكوس والقيمة المطلقة

معكوس -8 الجمعي هو 8، لأن مجموعهما صفر. أما القيمة المطلقة فهي \(|-8|=8\)، لأنها مسافة. قد تتساوى القيمتان عددياً في هذا المثال، لكن المفهومين مختلفان.

تطبيقات الرصيد والحرارة والارتفاع

رصيد قدره -52 درهمًا مع رسم مصرفي 10 دراهم يصبح -52-10=-62. ودرجة حرارة -9 ترتفع 14 درجة تصبح 5. يساعد تحديد معنى الإشارة قبل الحساب على اختيار العملية الصحيحة.

الجمع التبادلي والتجميعي

يمكن إعادة ترتيب حدود الجمع: a+b=b+a، وتجميعها: (a+b)+c=a+(b+c). لكن الطرح ليس تبادليًا: \(7-3\ne3-7\).

أسئلة تحقق ذاتي

1. هل إشارة الناتج منطقية؟
2. هل حوّلت الطرح إلى جمع المعكوس؟
3. هل العدد ذو القيمة المطلقة الأكبر هو الذي حدد الإشارة عند اختلافها؟
4. هل يمكن تكوين أزواج متعاكسة مجموعها صفر؟

تدريبات

• -22+(-16)=-38.
• 21+(-21)+(-4)=-4.
• 52-(-52)=104.
• \(|15-(-12)|=27\).

مصادر موثوقة

• OpenStax Prealgebra 2e: Add Integers
• OpenStax Prealgebra 2e: Subtract Integers
• OpenStax Prealgebra 2e: Multiply and Divide Integers