حل المعادلات المثلثية
ما المعادلة المثلثية؟
المعادلة المثلثية هي معادلة تحتوي على دوال مثلثية مثل sin x، cos x، tan x. حلها يعني إيجاد الزوايا التي تجعل المعادلة صحيحة. لأنها دوال دورية، فقد يكون للمعادلة عدد كبير من الحلول، لذلك يجب الانتباه إلى المجال المطلوب مثل \([0,2\pi)\) أو جميع الحلول العامة.
الاعتماد على دائرة الوحدة
دائرة الوحدة تساعدنا على معرفة الزوايا التي تعطي قيمًا مشهورة مثل \(\frac{1}{2}\)، \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)، \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). مثلًا \(\sin x=\frac{1}{2}\) في الفترة \([0,2\pi)\) تتحقق عند \(x=\frac{\pi}{6}\) و\(x=\frac{5\pi}{6}\).
خطوات الحل
اعزل الدالة المثلثية أولًا إن أمكن. بعد ذلك حدد الزاوية المرجعية، ثم اختر الأرباع المناسبة حسب إشارة الدالة. أخيرًا اكتب جميع الحلول المطلوبة داخل الفترة أو بصيغة عامة. في دالة الجيب تكون الإشارة موجبة في الربعين الأول والثاني، وفي جيب التمام في الأول والرابع، وفي الظل في الأول والثالث.
مثال محلول 1
حل 2sin x-1=0 في الفترة \([0,2\pi)\). نعزل: \(\sin x=\frac{1}{2}\). الزاوية المرجعية \(\frac{\pi}{6}\). لأن الجيب موجب في الربعين الأول والثاني، فالحلول هي \(x=\frac{\pi}{6}\)، و\(x=\frac{5\pi}{6}\).
مثال محلول 2
حل \(\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) في \([0,2\pi)\). الزاوية المرجعية \(\frac{\pi}{4}\). جيب التمام سالب في الربعين الثاني والثالث، إذن \(x=\frac{3\pi}{4}\)، و\(x=\frac{5\pi}{4}\).
مثال محلول 3
حل tan x=1. في الفترة \([0,2\pi)\)، تكون الحلول \(x=\frac{\pi}{4}\) و\(x=\frac{5\pi}{4}\). أما الحل العام فهو \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)، حيث k عدد صحيح؛ لأن فترة الظل \(\pi\).
معادلات تحتاج تحليلًا
قد تظهر معادلة مثل 2sin2 x-sin x-1=0. نعامل sin x كمتغير مؤقت: (2sin x+1)(sin x-1)=0. إذن \(\sin x=-\frac{1}{2}\) أو sin x=1. ثم نحل كل حالة على حدة.