المتتابعات الحسابية والهندسية ومجموع الحدود
الفكرة
المتتابعة قائمة مرتبة من الأعداد تتبع قاعدة معينة. إذا كان الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتًا فهي متتابعة حسابية. وإذا كانت النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة فهي متتابعة هندسية.
المتتابعة الحسابية
في المتتابعة الحسابية يكون الحد العام: a_n=a1+(n-1)d، حيث a1 هو الحد الأول وd هو الفرق المشترك. مجموع أول n حدود هو \(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\).
المتتابعة الهندسية
في المتتابعة الهندسية يكون الحد العام: a_n=a1rn-1، حيث r هو النسبة المشتركة. مجموع أول n حدود عندما \(r\ne1\) هو \(S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\).
مثال محلول 1
المتتابعة \(5,8,11,14,\ldots\) حسابية لأن الفرق المشترك 3. الحد العاشر: a10=5+(10-1)3=32.
مثال محلول 2
المتتابعة \(3,6,12,24,\ldots\) هندسية لأن النسبة المشتركة 2. الحد السادس: a6=3(2)5=96.
مثال محلول 3
مجموع أول 5 حدود من 2,4,6,8,10 هو \(S_5=\frac{5}{2}(2+10)=30\).
أخطاء شائعة
لا تحكم على المتتابعة من شكلها فقط؛ احسب الفرق أو النسبة. وإذا كانت الفروق ثابتة فهي حسابية، وإذا كانت النسب ثابتة فهي هندسية.
خلاصة سريعة
هذا الدرس يساعد الطالب على فهم فكرة السؤال قبل اختيار القانون. أفضل طريقة للمذاكرة هي حل مثالين على الأقل بعد قراءة القاعدة، ثم مقارنة الخطوات لا الناتج فقط.