قاعدة الضرب وقاعدة القسمة في الاشتقاق
متى نستخدم القاعدتين؟
نستخدم قاعدة الضرب عندما تكون الدالة حاصل ضرب دالتين، مثل x2sin x. ونستخدم قاعدة القسمة عندما تكون الدالة على صورة كسر بين دالتين، مثل \(\frac{x^2+1}{x-3}\).
قاعدة الضرب
إذا كانت y=u v فإن \(y'=u'v+uv'\). لا نشتق العاملين معًا ونضربهما فقط؛ هذه من أشهر الكوارث الهادئة في التفاضل.
قاعدة القسمة
إذا كانت \(y=\frac{u}{v}\) فإن \(y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) بشرط أن \(v\ne0\).
مثال محلول 1
أوجد مشتقة y=x2cos x. نأخذ u=x2 وv=cos x. إذن \(y'=2x\cos x+x^2(-\sin x)=2x\cos x-x^2\sin x\).
مثال محلول 2
أوجد مشتقة \(y=\frac{x^2+1}{x-1}\). نضع u=x2+1 وv=x-1. إذن \(y'=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)(1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\).
تنبيه مهم
في قاعدة القسمة ترتيب الطرح مهم جدًا: مشتقة البسط في المقام ناقص البسط في مشتقة المقام. قلب الترتيب يعطي إشارة خاطئة.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.