قاعدة السلسلة في الاشتقاق
الفكرة الأساسية
قاعدة السلسلة تستخدم عند اشتقاق دالة داخل دالة، مثل (3x+1)5 أو sin(x2). الفكرة ببساطة: نشتق الدالة الخارجية أولًا مع إبقاء الداخل كما هو، ثم نضرب في مشتقة الدالة الداخلية. من دون هذه القاعدة تصبح معظم أسئلة الاشتقاق المتقدمة فوضى صغيرة ترتدي بدلة رسمية.
الصيغة العامة
إذا كانت y=f(g(x)) فإن مشتقتها هي \(y'=f'(g(x))\cdot g'(x)\). أي نشتق الخارج، ثم نضرب في مشتقة الداخل.
خطوات الحل
حدد الدالة الداخلية أولًا، ثم حدد الدالة الخارجية. بعد ذلك اشتق الخارج كأن الداخل متغير واحد، ثم اضرب الناتج في مشتقة الداخل. هذه الخطوات تمنع الخطأ الشائع: نسيان ضرب مشتقة الداخل.
مثال محلول 1
أوجد مشتقة y=(4x-3)6. الدالة الخارجية هي القوة السادسة، والداخل هو 4x-3. إذن \(y'=6(4x-3)^5\cdot4=24(4x-3)^5\).
مثال محلول 2
أوجد مشتقة y=sin(x2+1). نشتق sin u فنحصل على cos u، ثم نضرب في مشتقة u=x2+1. إذن \(y'=2x\cos(x^2+1)\).
أخطاء شائعة
أكثر خطأ شائع هو اشتقاق الخارج فقط. مثلًا مشتقة (3x+2)4 ليست 4(3x+2)3 فقط، بل يجب الضرب في 3.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.
