الأحداث المتنافية وغير المتنافية وقانون الاتحاد في الاحتمالات
المعنى
في الاحتمالات، نقول إن حدثين متنافيان إذا كان من المستحيل أن يحدثا معًا في التجربة نفسها. مثال: عند رمي حجر نرد مرة واحدة، الحدث A: ظهور 2، والحدث B: ظهور 5، حدثان متنافيان؛ لأن النرد لا يمكن أن يظهر 2 و5 في الوقت نفسه. أما إذا كان الحدثان يمكن أن يحدثا معًا، فهما غير متنافيين.
قانون الاتحاد
قانون الاتحاد العام هو: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). نطرح التقاطع لأننا عند جمع P(A) وP(B) نكون قد حسبنا الجزء المشترك مرتين. أما إذا كان الحدثان متنافيين، فإن \(P(A\cap B)=0\)، فيصبح القانون: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
مثال على أحداث متنافية
رمي حجر نرد مرة واحدة. ما احتمال ظهور عدد زوجي أو ظهور العدد 5؟ الحدث A: عدد زوجي = {2,4,6}، والحدث B: {5}. لا يوجد تقاطع بينهما، إذن الحدثان متنافيان. الاحتمال \(P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).
مثال على أحداث غير متنافية
اختر عددًا من 1 إلى 10. ليكن A: العدد زوجي = {2,4,6,8,10}، وB: العدد أكبر من 6 = {7,8,9,10}. التقاطع هو {8,10}. إذن \(P(A\cup B)=\frac{5}{10}+\frac{4}{10}-\frac{2}{10}=\frac{7}{10}\).
كيف تميز النوع؟
اسأل نفسك: هل يمكن أن يحدث الحدثان معًا؟ إذا كانت الإجابة لا، فهما متنافيان. إذا كانت نعم، فهما غير متنافيين ويجب طرح التقاطع. كلمة "أو" في الاحتمالات غالبًا تعني الاتحاد، وقد تشمل حدوث أحد الحدثين أو كليهما معًا ما لم يذكر السؤال خلاف ذلك.
تمثيل فن
مخطط فن يساعد كثيرًا في فهم قانون الاتحاد. إذا كانت الدائرتان منفصلتين، فلا يوجد تقاطع. وإذا تداخلتا، فالمنطقة المشتركة يجب أن تطرح مرة واحدة عند حساب الاتحاد. من لا يطرح التقاطع في الأحداث غير المتنافية يحصل على احتمال أكبر من الواقع، وأحيانًا أكبر من 1، وهنا يرفع الاحتمال يده اعتراضًا.