الدالة الأسية نموذج رياضي يكون فيه المتغير في الأس، وتستخدم لوصف كميات تتغير بنسبة ثابتة خلال فترات متساوية، مثل نمو السكان، والفائدة المركبة، وانتشار بعض الظواهر، والتحلل الإشعاعي. صورتها الأساسية f(x)=ab^x، حيث \(a\ne0\)، و\(b\gt 0\)، و\(b\ne1\).
قراءة معاملات الدالة
- a=f(0) هو القيمة الابتدائية، لأن b0=1.
- إذا كان \(b\gt 1\) فالدالة تمثل نمواً أسياً.
- إذا كان \(0\lt b\lt 1\) فالدالة تمثل اضمحلالاً أسياً.
- في A(t)=A0(1+r)^t يكون r معدل النمو العشري، أما الاضمحلال فيكتب A0(1-r)^t.
خصائص الرسم
لدالة ab^x عندما \(a\gt 0\) مجال يساوي جميع الأعداد الحقيقية ومدى موجب، وتقطع محور y عند (0,a)، ولها مقارب أفقي y=0. الإزاحة الرأسية abx-h+k تجعل المقارب y=k، وتنقل الرسم h وحدات أفقياً وk وحدات رأسياً.
أمثلة محلولة
مثال 1: نمو
بدأت مزرعة بـ200 نبتة وتزداد 8% سنوياً: N(t)=200(1.08)^t. بعد 3 سنوات: \(N(3)=200(1.08)^3\approx252\) نبتة.
مثال 2: اضمحلال
دواء كتلته 500 mg يفقد 20% كل ساعة: M(t)=500(0.8)^t. بعد 4 ساعات: M(4)=204.8 mg.
مثال 3: إيجاد النموذج
إذا كان f(0)=6 وf(1)=18، فإن a=6 و6b=18، لذا b=3 والنموذج \(f(x)=6\cdot3^x\).
الزمن المضاعف ونصف العمر
في النمو المستمر A=A0ekt، زمن المضاعفة \(T=\ln2/k\). وفي الاضمحلال يكون نصف العمر \(T=\ln2/|k|\). وعند حل معادلة أسية لا تتوحد أساساتها، نستخدم اللوغاريتم: إذا ab^x=c، فإن x=ln(c/a)/ln b.
خطة الحل والتحقق
- حدد المعطيات والمطلوب، واكتب الرموز بمعناها الصحيح.
- اختر القاعدة المناسبة قبل إجراء الحساب.
- نفذ الخطوات بالتسلسل، ولا تختصر خطوة تغيّر الإشارة أو المجال.
- تحقق بالتعويض أو بالرسم أو بالتقدير، ثم اكتب الجواب بالصورة المطلوبة.
أخطاء شائعة
- كتابة 8% على صورة 8 بدلاً من 0.08.
- استخدام 1+r في مسألة اضمحلال بدلاً من 1-r.
- نسيان أن القيمة الابتدائية هي قيمة الدالة عند x=0.
- التقريب المبكر؛ احتفظ بقيم الآلة حتى الخطوة الأخيرة.
تدريبات قصيرة مع الإجابات
- 300(1.05)2=330.75.
- 800(0.75)3=337.5.
- إذا 2^x=32، فإن x=5.
خلاصة مركزة
الفهم الجيد لا يقوم على حفظ الصيغة وحدها، بل على معرفة سبب استخدامها، وقراءة أثر كل معامل، ومقارنة النتيجة بالسلوك المتوقع. اجعل الرسم أو التحقق العددي جزءاً ثابتاً من الحل.