مساحة السطح الدوراني باستخدام التكامل
الفكرة
عندما يدور منحنى حول محور، يتكوّن سطح ثلاثي الأبعاد. حساب مساحة هذا السطح يحتاج إلى دمج فكرة المحيط مع طول القوس؛ لذلك يظهر القانون وفيه عامل \(2\pi\) وجذر طول القوس.
القانون حول محور x
إذا دارت الدالة y=f(x) حول محور x على الفترة [a,b]، فإن مساحة السطح هي \(S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\) بشرط أن تكون \(f(x)\ge0\).
القانون حول محور y
إذا كان الدوران حول محور y مع دالة بدلالة x، يظهر العامل x بدل f(x): \(S=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).
مثال محلول
للدالة الثابتة y=r من 0 إلى h حول محور x، نحصل على أسطوانة. لأن \(f'(x)=0\)، فإن \(S=2\pi\int_0^h r\,dx=2\pi rh\)، وهو قانون المساحة الجانبية للأسطوانة.
تنبيه
لا تخلط بين حجم الدوران ومساحة السطح الدوراني. الحجم يستخدم الأقراص أو الحلقات أو القشور، أما مساحة السطح فتستخدم قانونًا يعتمد على طول القوس.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.