معادلة الدائرة ومركزها ونصف قطرها
تعد معادلة الدائرة من الموضوعات المهمة في الهندسة التحليلية؛ لأنها تربط بين الشكل الهندسي للدائرة والإحداثيات على المستوى. ومن خلال معادلة الدائرة نستطيع معرفة مركزها، ونصف قطرها، وهل نقطة معينة تقع على الدائرة أم داخلها أم خارجها.
مراجعة سريعة: ما الدائرة؟
الدائرة هي مجموعة جميع النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن نقطة ثابتة تسمى مركز الدائرة.
هذه المسافة الثابتة تسمى نصف القطر.
أي أن أي نقطة تقع على الدائرة يجب أن تكون بعيدة عن المركز بمقدار ثابت.
مركز الدائرة
مركز الدائرة هو النقطة الثابتة التي تقع في وسط الدائرة، وتكون جميع نقاط الدائرة على البعد نفسه منها.
إذا كان مركز الدائرة هو:
\((h,k)\)
فإن العدد \(h\) يمثل الإحداثي السيني للمركز، والعدد \(k\) يمثل الإحداثي الصادي للمركز.
مثال: إذا كان مركز الدائرة هو \((3, -2)\)، فهذا يعني أن المركز يقع عند 3 على محور \(x\)، وعند -2 على محور \(y\).
نصف القطر
نصف القطر هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على محيطها.
يرمز لنصف القطر غالبًا بالرمز:
\(r\)
نصف القطر يجب أن يكون عددًا موجبًا؛ لأنه يمثل طولًا أو مسافة.
الصورة القياسية لمعادلة الدائرة
الصورة القياسية لمعادلة الدائرة هي:
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
حيث:
- \((h,k)\) هو مركز الدائرة.
- \(r\) هو نصف القطر.
- \(r^2\) هو مربع نصف القطر.
- \(x\) و \(y\) يمثلان إحداثيات أي نقطة على الدائرة.
كيف نقرأ معادلة الدائرة؟
عند قراءة معادلة دائرة من الصورة القياسية، نركز على ثلاثة أشياء:
- العدد الموجود مع \(x\) لتحديد الإحداثي السيني للمركز.
- العدد الموجود مع \(y\) لتحديد الإحداثي الصادي للمركز.
- العدد الموجود في الطرف الأيمن؛ لأنه يمثل \(r^2\)، وليس \(r\) مباشرة.
ملاحظة مهمة جدًا حول الإشارات
في المعادلة القياسية:
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
الإشارة داخل القوس تكون عكس إشارة إحداثي المركز.
هذا يعني:
- إذا رأيت \((x-4)^2\)، فإن الإحداثي السيني للمركز هو \(4\).
- إذا رأيت \((x+4)^2\)، فإن الإحداثي السيني للمركز هو \(-4\).
- إذا رأيت \((y-2)^2\)، فإن الإحداثي الصادي للمركز هو \(2\).
- إذا رأيت \((y+2)^2\)، فإن الإحداثي الصادي للمركز هو \(-2\).
مثال 1: إيجاد المركز ونصف القطر
السؤال: أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها من المعادلة الآتية:
\[(x-3)^2+(y+2)^2=25\]
الحل:
نقارن المعادلة بالصورة القياسية:
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
من \((x-3)^2\) نعرف أن \(h=3\).
ومن \((y+2)^2\) نعرف أن \(k=-2\).
إذن مركز الدائرة هو:
\((3,-2)\)
أما نصف القطر فنستخرجه من الطرف الأيمن:
\[r^2=25\]
إذن:
\[r=5\]
الإجابة: المركز \((3,-2)\)، ونصف القطر \(5\).
مثال 2: الانتباه إلى الإشارات
السؤال: أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها:
\[(x+5)^2+(y-1)^2=36\]
الحل:
من \((x+5)^2\) يكون الإحداثي السيني للمركز هو \(-5\).
ومن \((y-1)^2\) يكون الإحداثي الصادي للمركز هو \(1\).
إذن المركز هو:
\((-5,1)\)
ولأن:
\[r^2=36\]
فإن:
\[r=6\]
الإجابة: المركز \((-5,1)\)، ونصف القطر \(6\).
مثال 3: كتابة معادلة الدائرة من المركز ونصف القطر
السؤال: اكتب معادلة دائرة مركزها \((2,4)\) ونصف قطرها \(3\).
الحل:
نستخدم الصورة القياسية:
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
لدينا:
- \(h=2\)
- \(k=4\)
- \(r=3\)
نعوض في القانون:
\[(x-2)^2+(y-4)^2=3^2\]
إذن:
\[(x-2)^2+(y-4)^2=9\]
الإجابة: معادلة الدائرة هي \((x-2)^2+(y-4)^2=9\).
مثال 4: دائرة مركزها نقطة الأصل
إذا كان مركز الدائرة هو نقطة الأصل \((0,0)\)، فإن معادلتها تصبح أبسط.
الصورة العامة هنا هي:
\[x^2+y^2=r^2\]
مثال: إذا كان مركز الدائرة \((0,0)\) ونصف قطرها \(7\)، فإن معادلتها هي:
\[x^2+y^2=49\]
الصورة العامة لمعادلة الدائرة
قد تظهر معادلة الدائرة أحيانًا في صورة غير الصورة القياسية، وتسمى الصورة العامة.
من أشهر صورها:
\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]
في هذه الصورة لا يظهر المركز ونصف القطر مباشرة، لذلك نحتاج إلى تحويلها إلى الصورة القياسية باستخدام إكمال المربع.
ما معنى إكمال المربع؟
إكمال المربع طريقة نستخدمها لتحويل التعبير الجبري إلى مربع كامل.
الفكرة باختصار:
- نجمع حدود \(x\) معًا.
- نجمع حدود \(y\) معًا.
- ننقل العدد الثابت إلى الطرف الآخر.
- نضيف عددًا مناسبًا لكل مجموعة حتى تصبح مربعًا كاملًا.
مثال 5: التحويل من الصورة العامة إلى الصورة القياسية
السؤال: أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها:
\[x^2+y^2-6x+4y-12=0\]
الحل:
أولًا نرتب الحدود:
\[(x^2-6x)+(y^2+4y)=12\]
نكمل المربع للجزء الأول:
نأخذ نصف معامل \(x\)، ثم نربعه.
معامل \(x\) هو \(-6\).
نصفه هو \(-3\)، ومربعه هو \(9\).
إذن نضيف \(9\).
نكمل المربع للجزء الثاني:
معامل \(y\) هو \(4\).
نصفه هو \(2\)، ومربعه هو \(4\).
إذن نضيف \(4\).
يجب أن نضيف العددين إلى الطرفين:
\[(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=12+9+4\]
فتصبح:
\[(x-3)^2+(y+2)^2=25\]
إذن المركز هو:
\((3,-2)\)
ونصف القطر هو:
\[5\]
مثال 6: إيجاد معادلة دائرة من نهايتي قطرها
السؤال: إذا كانت نقطتا طرفي قطر دائرة هما \((2,1)\) و \((8,5)\)، فأوجد معادلة الدائرة.
الحل:
مركز الدائرة هو منتصف القطر.
نستخدم قانون منتصف القطعة المستقيمة:
\[\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\]
نعوض:
\[\left(\frac{2+8}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(5,3)\]
إذن مركز الدائرة هو \((5,3)\).
نصف القطر هو المسافة من المركز إلى أحد طرفي القطر.
نحسب المسافة بين \((5,3)\) و \((2,1)\):
\[r=\sqrt{(5-2)^2+(3-1)^2}\]
\[r=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\]
إذن:
\[r^2=13\]
معادلة الدائرة هي:
\[(x-5)^2+(y-3)^2=13\]
اختبار نقطة بالنسبة إلى الدائرة
يمكننا معرفة هل نقطة معينة تقع على الدائرة أم داخلها أم خارجها باستخدام معادلة الدائرة.
إذا كانت معادلة الدائرة:
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
فإننا نعوض بإحداثيات النقطة:
- إذا كان الناتج يساوي \(r^2\)، فالنقطة تقع على الدائرة.
- إذا كان الناتج أصغر من \(r^2\)، فالنقطة تقع داخل الدائرة.
- إذا كان الناتج أكبر من \(r^2\)، فالنقطة تقع خارج الدائرة.
مثال 7: هل النقطة تقع على الدائرة؟
السؤال: هل النقطة \((4,5)\) تقع على الدائرة الآتية؟
\[(x-1)^2+(y-1)^2=25\]
الحل:
نعوض \(x=4\) و \(y=5\):
\[(4-1)^2+(5-1)^2\]
\[3^2+4^2=9+16=25\]
الناتج يساوي الطرف الأيمن، إذن النقطة تقع على الدائرة.
المماس وعلاقته بنصف القطر
المماس هو مستقيم يلمس الدائرة في نقطة واحدة فقط.
من أهم الحقائق في الدائرة:
نصف القطر يكون عموديًا على المماس عند نقطة التماس
أي أن الزاوية بين نصف القطر والمماس عند نقطة التماس تساوي 90 درجة.
هذه الفكرة مفيدة في مسائل الهندسة، خاصة عند وجود مثلث قائم مرتبط بدائرة.
مثال 8: فكرة المماس
السؤال: إذا رسمنا نصف قطر من مركز الدائرة إلى نقطة التماس، فما قياس الزاوية بين نصف القطر والمماس؟
الإجابة: قياس الزاوية يساوي 90 درجة؛ لأن نصف القطر عمودي على المماس عند نقطة التماس.
أخطاء شائعة في معادلة الدائرة
- اعتبار العدد الموجود في الطرف الأيمن هو نصف القطر مباشرة، مع أنه يمثل \(r^2\).
- نسيان عكس الإشارة عند استخراج المركز من الأقواس.
- الخلط بين القطر ونصف القطر.
- نسيان تربيع نصف القطر عند كتابة المعادلة.
- عدم ترتيب الحدود جيدًا عند التحويل من الصورة العامة إلى الصورة القياسية.
- إضافة عدد عند إكمال المربع إلى طرف واحد فقط، وهذا خطأ؛ يجب إضافته إلى الطرفين.
خطوات حل أسئلة معادلة الدائرة
- حدد أولًا هل المعادلة في الصورة القياسية أم الصورة العامة.
- إذا كانت في الصورة القياسية، استخرج المركز ونصف القطر مباشرة.
- إذا كانت في الصورة العامة، حولها إلى الصورة القياسية بإكمال المربع.
- انتبه إلى الإشارات داخل الأقواس.
- تذكر أن الطرف الأيمن يمثل مربع نصف القطر.
- راجع الناتج وتأكد أن نصف القطر عدد موجب.
تدريبات محلولة بسرعة
تدريب 1: أوجد مركز ونصف قطر الدائرة:
\[(x-7)^2+(y-4)^2=16\]
الإجابة: المركز \((7,4)\)، ونصف القطر \(4\).
تدريب 2: أوجد مركز ونصف قطر الدائرة:
\[(x+2)^2+(y+6)^2=81\]
الإجابة: المركز \((-2,-6)\)، ونصف القطر \(9\).
تدريب 3: اكتب معادلة دائرة مركزها \((-1,3)\) ونصف قطرها \(5\).
الإجابة:
\[(x+1)^2+(y-3)^2=25\]
تدريب 4: إذا كان مركز الدائرة \((0,0)\) ونصف قطرها \(4\)، فما معادلتها؟
الإجابة:
\[x^2+y^2=16\]
خلاصة الدرس
معادلة الدائرة تساعدنا على وصف الدائرة باستخدام الإحداثيات. الصورة القياسية لمعادلة الدائرة هي \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)، ومنها نستخرج المركز \((h,k)\) ونصف القطر \(r\). أما إذا ظهرت المعادلة في الصورة العامة، فنحولها إلى الصورة القياسية باستخدام إكمال المربع. أهم ما يجب الانتباه إليه هو عكس الإشارات داخل الأقواس، وأخذ الجذر التربيعي للطرف الأيمن لإيجاد نصف القطر.
مصادر موثوقة للاستزادة
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e
Khan Academy: Standard equation of a circle
Math is Fun: Equation of a Circle
