النهايات والاستمرارية
النهاية تصف القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب x من عدد معين، حتى لو لم تكن الدالة معرفة عند هذا العدد. أما الاستمرارية فتعني أن الرسم لا يحتوي على انقطاع عند النقطة.
الفكرة الأساسية
عندما نقول إن نهاية f(x) عندما x يقترب من 2 تساوي 5، فهذا يعني أن قيم الدالة تقترب من 5 عند الاقتراب من 2 من اليمين واليسار.
التعويض المباشر
في كثير من الدوال كثيرة الحدود، يمكن حساب النهاية بالتعويض المباشر. مثال: نهاية x² + 3 عندما x يقترب من 2 تساوي 4 + 3 = 7.
عندما يظهر 0 ÷ 0
إذا ظهر شكل غير محدد مثل 0 ÷ 0، لا ننتهي هنا. نحاول التحليل أو الاختصار. مثال: (x² - 4) ÷ (x - 2). نحلل البسط إلى (x - 2)(x + 2)، ثم نختصر، فتصبح النهاية x + 2 عند x = 2، أي 4.
شروط الاستمرارية عند x = a
- أن تكون f(a) معرفة.
- أن توجد النهاية عندما x يقترب من a.
- أن تكون النهاية مساوية لقيمة الدالة f(a).
أخطاء شائعة
- اعتبار النهاية دائمًا مساوية لقيمة الدالة.
- التوقف عند 0 ÷ 0 بدل معالجة التعبير.
- نسيان فحص النهاية من الجهتين.