الدوال العكسية المثلثية وتحديد الزوايا
الفكرة
الدوال العكسية المثلثية تستخدم لإيجاد الزاوية عندما نعرف قيمة النسبة المثلثية. مثلًا إذا عرفنا \(\sin\theta=\frac12\) نستخدم sin-1 لإيجاد زاوية مناسبة.
المجال والمدى
لأن الدوال المثلثية ليست واحدية على كل مجالها، نقيّد مداها عند تعريف العكس. لذلك تعطي الآلة الحاسبة قيمة رئيسية واحدة، وقد توجد زوايا أخرى تحقق النسبة نفسها.
مثال محلول 1
إذا كان \(\sin\theta=\frac12\)، فإن القيمة الرئيسية هي \(30^\circ\) أو \(\frac{\pi}{6}\). لكن في الفترة \(0^\circ\) إلى \(360^\circ\) توجد زاوية أخرى هي \(150^\circ\).
مثال محلول 2
إذا كان \(\tan\theta=-1\)، فالقيمة المرجعية \(45^\circ\). وبما أن الظل سالب في الربعين الثاني والرابع، فإن الحلول في دورة كاملة هي \(135^\circ\) و\(315^\circ\).
تنبيه
لا تخلط بين sin-1x والدالة \(\frac{1}{\sin x}\). الأولى عكس الجيب، والثانية قاطع التمام.
خلاصة سريعة
هذا المقال يربط القاعدة بطريقة استخدامها في السؤال، ويعتمد على أمثلة محلولة تساعد الطالب على الانتقال من الحفظ إلى الفهم. الأفضل دائمًا إعادة حل الأمثلة يدويًا، لأن الرياضيات لا تُتعلّم بالمشاهدة فقط.