الاشتقاق الضمني وميل المنحنى
الفكرة
أحيانًا لا تكون العلاقة بين x وy مكتوبة على صورة y=f(x)، مثل x2+y2=25. هنا نستخدم الاشتقاق الضمني ونعد y دالة في x.
القاعدة المهمة
عند اشتقاق حد يحتوي على y بالنسبة إلى x نضرب في \(\frac{dy}{dx}\). مثلًا مشتقة y2 هي \(2y\frac{dy}{dx}\).
مثال محلول 1
أوجد \(\frac{dy}{dx}\) من المعادلة x2+y2=25. بالاشتقاق: \(2x+2y\frac{dy}{dx}=0\). إذن \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\).
مثال محلول 2
أوجد ميل المماس للمنحنى x2+y2=25 عند النقطة (3,4). من النتيجة السابقة \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}=-\frac{3}{4}\).
تنبيه
الاشتقاق الضمني لا يعني أن الحل ناقص؛ بل هو طريقة طبيعية عندما تكون المعادلة تمثل منحنى لا يمكن كتابته بسهولة كدالة واحدة.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.