التكاملات غير الصحيحة ونهايات التكامل
الفكرة
التكامل غير الصحيح يظهر عندما يكون أحد حدود التكامل لا نهائيًا، أو عندما تكون الدالة غير معرفة داخل الفترة أو عند أحد طرفيها. هنا لا نحسب التكامل مباشرة، بل نحوله إلى نهاية.
فترة غير منتهية
إذا كان لدينا \(\int_a^\infty f(x)dx\) نكتبه على صورة \(\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)dx\). إذا كانت النهاية موجودة بعدد حقيقي نقول إن التكامل متقارب، وإلا فهو متباعد.
دالة غير معرفة
إذا كانت الدالة غير معرفة عند a في التكامل \(\int_a^b f(x)dx\)، نستخدم \(\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)dx\).
مثال محلول 1
احسب \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx\). نكتبها \(\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}dx=\lim_{b\to\infty}[-\frac{1}{x}]_1^b=1\). إذن التكامل متقارب.
مثال محلول 2
التكامل \(\int_1^\infty \frac{1}{x}dx\) يساوي \(\lim_{b\to\infty}\ln b\)، وهذه النهاية غير منتهية، لذلك التكامل متباعد.
أخطاء شائعة
وجود رمز اللانهاية لا يعني أن الناتج لا نهائي دائمًا. بعض التكاملات غير الصحيحة متقاربة وبعضها متباعد، والحكم يكون بالنهاية لا بالشعور.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.