المجال والمدى للدوال
لماذا هذا الموضوع مهم؟
المجال والمدى من أكثر المفاهيم التي تتكرر في أسئلة الدوال؛ لأنهما يكشفان ما يسمح به التعبير الرياضي وما يمكن أن ينتجه. المجال هو مجموعة قيم x التي يمكن إدخالها في الدالة دون أن يحدث منع رياضي، أما المدى فهو مجموعة قيم y الناتجة بعد تطبيق الدالة. الخطأ الشائع عند الطلاب هو النظر إلى شكل الدالة فقط ونسيان القيود: لا يجوز أن يكون مقام الكسر صفرًا، ولا يجوز أن يكون ما تحت الجذر التربيعي عددًا سالبًا في الأعداد الحقيقية، ولا يجوز إدخال عدد غير موجب في اللوغاريتم.
الفكرة الأساسية
إذا كانت الدالة f(x)، فالمجال يجيب عن سؤال: ما قيم x المسموح بها؟ أما المدى فيجيب عن سؤال: ما القيم التي يمكن أن تأخذها f(x)؟ في الدوال الخطية غالبًا يكون المجال والمدى جميع الأعداد الحقيقية، أما في الدوال التربيعية والجذرية والكسرية فيظهر تقييد واضح. في التمثيل البياني نقرأ المجال من امتداد الرسم أفقيًا، ونقرأ المدى من امتداده رأسيًا.
خطوات تحديد المجال
ابدأ بالبحث عن القيود. إذا كان هناك كسر، اجعل المقام لا يساوي صفرًا. إذا كان هناك جذر تربيعي، اجعل ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي صفرًا. إذا كان هناك لوغاريتم، اجعل داخله أكبر من صفر. إذا لم تظهر أي قيود، فالمجال غالبًا هو جميع الأعداد الحقيقية. لا تكتب المجال بسرعة؛ فالسرعة هنا تصنع أخطاء لطيفة في شكلها ومزعجة في نتيجتها.
مثال محلول 1
حدد مجال الدالة: \(f(x)=\frac{3}{x-5}\). هنا يوجد كسر، لذلك يجب ألا يكون المقام صفرًا. نكتب: \(x-5 \ne 0\)، ومنه \(x \ne 5\). إذن المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا 5. بالرموز: \((-\infty,5) \cup (5,\infty)\).
مثال محلول 2
حدد مجال الدالة: \(g(x)=\sqrt{x+4}\). لأن لدينا جذرًا تربيعيًا، يجب أن يكون \(x+4 \ge 0\). إذن \(x \ge -4\). المجال هو \([-4,\infty)\). أما المدى فهو \([0,\infty)\) لأن الجذر التربيعي لا يعطي قيمًا سالبة في الأعداد الحقيقية.
مثال محلول 3
حدد مدى الدالة: h(x)=(x-2)2+3. هذه دالة تربيعية مفتوحة للأعلى، وأصغر قيمة لها تحصل عندما x=2، فتكون h(2)=3. إذن المدى هو \([3,\infty)\). هنا لم نحتج إلى تجربة أعداد كثيرة؛ كتابة الدالة على صورة الرأس جعلت الحل مباشرًا.
تنبيهات للطلاب
عند قراءة المجال من الرسم البياني، لا تنظر إلى نقاط متفرقة فقط، بل إلى امتداد الرسم كله. السهم يعني استمرارًا. الدائرة المفتوحة تعني أن النقطة غير داخلة، والدائرة المغلقة تعني أنها داخلة. وفي الدوال المعطاة لفظيًا، ترجم معنى المسألة: الزمن لا يكون سالبًا، عدد الأشخاص لا يكون كسرًا، والطول لا يكون أقل من صفر.