التمثيل البياني للدوال المثلثية: السعة والفترة والإزاحة
الفكرة الأساسية
الدوال المثلثية مثل sin x وcos x دوال دورية، أي أن شكلها يتكرر بعد فترة محددة. في sin x وcos x، الفترة الأساسية هي \(2\pi\)، والسعة الأساسية هي 1. عند تغيير المعاملات في الدالة، يتغير ارتفاع الموجة وعرضها وموقعها.
الصيغة العامة
للدالة y=Asin(Bx-C)+D أو y=Acos(Bx-C)+D: السعة هي \(|A|\)، والفترة هي \(\frac{2\pi}{|B|}\)، والإزاحة الأفقية هي \(\frac{C}{B}\)، وخط المنتصف هو y=D. هذه القيم الأربع تكفي غالبًا لرسم دورة كاملة.
السعة
السعة هي المسافة من خط المنتصف إلى أعلى نقطة أو أدنى نقطة. إذا كانت y=3sin x، فالسعة 3. إذا كانت y=-2cos x، فالسعة 2، أما الإشارة السالبة فتعني انعكاسًا حول خط المنتصف.
الفترة
الفترة تحدد طول دورة كاملة على محور x. في y=sin(2x)، تكون الفترة \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)، أي أن الرسم يتكرر أسرع. وفي \(y=\cos(\frac{x}{2})\)، تكون الفترة \(\frac{2\pi}{1/2}=4\pi\)، أي أن الرسم يتمدد أفقيًا.
مثال محلول
حلل الدالة \(y=2\sin(3x-\pi)+1\). نكتب \(3x-\pi=3(x-\frac{\pi}{3})\). السعة 2، والفترة \(\frac{2\pi}{3}\)، والإزاحة الأفقية إلى اليمين \(\frac{\pi}{3}\)، وخط المنتصف y=1. أعلى قيمة هي 1+2=3، وأدنى قيمة هي 1-2=-1.
دالة الظل
دالة tan x تختلف عن الجيب وجيب التمام لأنها لا تملك سعة محددة، ولها خطوط تقارب رأسية. فترة tan(Bx) هي \(\frac{\pi}{|B|}\). مثلًا y=tan(2x) فترتها \(\frac{\pi}{2}\).
خطوات الرسم
حدد خط المنتصف، ثم السعة، ثم الفترة، ثم الإزاحة. بعد ذلك قسّم الفترة إلى أربع أجزاء في دوال الجيب وجيب التمام، وحدد النقاط الأساسية. لا تبدأ بالرسم قبل تحليل المعاملات؛ لأن الرسم من الذاكرة فقط يجعل الموجة تتجول في الصفحة بلا عنوان.
