الأعداد المركبة والأصفار التخيلية لكثيرات الحدود
ما العدد المركب؟
العدد المركب يكتب على الصورة a+bi، حيث a هو الجزء الحقيقي، و b هو الجزء التخيلي، و i هو العدد الذي يحقق i2=-1. ظهرت الأعداد المركبة لتوسيع نظام الأعداد بحيث يمكن حل معادلات مثل x2+1=0، التي لا تملك حلولًا حقيقية.
الأصفار التخيلية
عندما تكون حلول كثيرة الحدود غير حقيقية، تسمى أحيانًا أصفارًا تخيلية أو مركبة. فالمعادلة x2+9=0 تعطينا x2=-9، ومنه \(x=\pm3i\). هذه حلول صحيحة في مجموعة الأعداد المركبة، حتى لو لم تظهر كنقاط تقاطع مع محور x في الرسم الحقيقي.
نظرية الجذور المركبة المرافقة
إذا كانت كثيرة الحدود ذات معاملات حقيقية، وظهر جذر مركب a+bi، فإن مرافقه a-bi يكون جذرًا أيضًا. لذلك لا يظهر الجذر المركب المنفرد وحده في كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. هذه قاعدة مهمة جدًا عند تكوين كثيرة حدود من أصفار معطاة.
مثال محلول 1
حل المعادلة x2-4x+13=0. باستخدام القانون العام: \(x=\frac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i\). إذن الجذران هما 2+3i و 2-3i.
مثال محلول 2
إذا كان 3-2i جذرًا لكثيرة حدود ذات معاملات حقيقية، فما جذر آخر مؤكد؟ الجذر الآخر هو المرافق 3+2i. لا نحتاج إلى معرفة كثيرة الحدود كلها؛ المعاملات الحقيقية تكفي لاستنتاج ذلك.
تكوين كثيرة حدود من جذور مركبة
إذا كان الجذران 2+3i و 2-3i، فإن العاملين هما (x-(2+3i)) و (x-(2-3i)). حاصل ضربهما: ((x-2)-3i)((x-2)+3i)=(x-2)2+9=x2-4x+13. لاحظ كيف اختفى i في الناتج لأن الجذرين مترافقان.
أين يقع الالتباس؟
الطلاب يخلطون أحيانًا بين \(\sqrt{-9}\) و -3. الصحيح أن \(\sqrt{-9}=3i\) في الأعداد المركبة. كذلك يجب تذكر أن i2=-1، و i3=-i، و i4=1، ثم تتكرر الدورة.