طول القوس باستخدام التكامل
الفكرة
طول القوس يعني طول جزء من منحنى بين نقطتين. في الخط المستقيم يكفي قانون المسافة، لكن في المنحنيات نحتاج إلى التكامل لأن الاتجاه يتغير باستمرار.
القانون
إذا كانت الدالة y=f(x) ناعمة على الفترة [a,b]، فإن طول القوس هو \(L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).
خطوات الحل
أولًا نشتق الدالة، ثم نربع المشتقة، ثم نعوض في الجذر، ثم نحسب التكامل على الفترة المطلوبة. في بعض المسائل يكون التكامل بسيطًا، وفي بعضها يحتاج إلى آلة حاسبة أو طريقة عددية.
مثال محلول 1
أوجد طول القوس للدالة y=mx+c من x=a إلى x=b. المشتقة \(f'(x)=m\). إذن \(L=\int_a^b\sqrt{1+m^2}dx=(b-a)\sqrt{1+m^2}\)، وهذا يوافق قانون المسافة للمستقيم.
مثال محلول 2
للدالة \(y=\frac{2}{3}x^{3/2}\) على [0,1]، تكون \(y'=\sqrt{x}\). إذن \(L=\int_0^1\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(2\sqrt2-1)\).
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.