الدائرة: الأوتار والمماسات والقواطع والزوايا المحيطية والمركزية
مصطلحات أساسية
الدائرة مجموعة نقاط تبعد مسافة ثابتة عن المركز. نصف القطر يصل المركز بنقطة على الدائرة، والوتر يصل بين نقطتين على الدائرة، والقطر وتر يمر بالمركز. المماس يلمس الدائرة في نقطة واحدة فقط، أما القاطع فيمر بالدائرة في نقطتين. فهم هذه المصطلحات شرط قبل الدخول في النظريات؛ وإلا أصبحت الدائرة حفلة خطوط بلا أسماء.
الزاوية المركزية والمحيطية
الزاوية المركزية رأسها في مركز الدائرة، وقياسها يساوي قياس القوس الذي تقابله. أما الزاوية المحيطية فرأسها على الدائرة، وقياسها يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. لذلك إذا كانت زاوية مركزية تقابل قوسًا قياسه \(80^\circ\)، فقياسها \(80^\circ\)، أما الزاوية المحيطية التي تقابل القوس نفسه فقياسها \(40^\circ\).
المماس ونصف القطر
نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس يكون عموديًا على المماس. فإذا كان OT نصف قطر وl مماسًا عند T، فإن \(OT \perp l\). هذه العلاقة تستخدم كثيرًا لإثبات وجود مثلث قائم أو إيجاد طول مجهول باستخدام فيثاغورس.
الأوتار المتساوية
في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، الأوتار المتساوية تقابل أقواسًا متساوية، وتكون على أبعاد متساوية من المركز. كذلك العمود النازل من المركز على وتر ينصف ذلك الوتر. هذه النظريات تظهر كثيرًا في أسئلة إيجاد الأطوال والزوايا.
مثال محلول 1
إذا كانت زاوية محيطية تقابل قوسًا قياسه \(110^\circ\)، فما قياس الزاوية؟ بما أن الزاوية المحيطية تساوي نصف القوس المقابل، فإن القياس \(55^\circ\).
مثال محلول 2
مماس للدائرة عند النقطة T، ونصف القطر OT=6، ومن نقطة خارجية P لدينا OP=10. أوجد طول المماس PT. بما أن نصف القطر عمودي على المماس، فالمثلث OPT قائم. إذن PT2+62=102، ومنه PT2=64، إذن PT=8.
القواطع والمماسات
إذا خرج من نقطة خارج الدائرة مماس وقاطع، فهناك علاقات بين الأطوال يمكن استخدامها لإيجاد المجهول. الفكرة العامة أن أجزاء القواطع والمماسات ليست عشوائية، بل تخضع لنظريات ناتجة من التشابه. لذلك في مسائل الدائرة، ابحث دائمًا عن: قوس، زاوية، مماس، وتر، أو قاطع.