ما الحركة في بعدين؟
الحركة في بعدين تعني أن الجسم يتحرك أفقيًا ورأسيًا في الوقت نفسه. بدل أن نصف الحركة على خط واحد فقط، نستخدم محورين: محور أفقي \( x \) ومحور رأسي \( y \). من أجمل أمثلة ذلك حركة المقذوفات: كرة تقذف في الهواء، ماء يخرج من خرطوم، أو جسم يسقط من طائرة أفقية.
القاعدة المهمة: نعالج الحركة الأفقية والحركة الرأسية بشكل منفصل، ثم نربطهما بالزمن نفسه.
تحليل السرعة إلى مركبتين
إذا قذف جسم بسرعة ابتدائية \( v_0 \) بزاوية \( \theta \)، فإن السرعة تتحلل إلى مركبتين:
\( v_{0x} = v_0 \cos\theta \)
\( v_{0y} = v_0 \sin\theta \)
المركبة الأفقية تتحكم في الحركة على محور \( x \)، والمركبة الرأسية تتحكم في الصعود والهبوط على محور \( y \).
المقذوف الأفقي
المقذوف الأفقي يبدأ بسرعة أفقية فقط، مثل كرة تسقط من حافة طاولة بعد دفعها أفقيًا. في هذه الحالة:
- السرعة الرأسية الابتدائية تساوي صفرًا: \( v_{0y}=0 \).
- التسارع الرأسي هو تسارع الجاذبية: \( g \).
- السرعة الأفقية ثابتة تقريبًا إذا أهملنا مقاومة الهواء.
المسافة الأفقية تساوي:
\( x = v_x t \)
أما السقوط الرأسي من السكون فيحسب غالبًا بالعلاقة:
\( y = \frac{1}{2}gt^2 \)
مثال محلول: مقذوف أفقي
كرة غادرت طاولة أفقيًا بسرعة 4 m/s، واستغرقت 0.5 s حتى وصلت إلى الأرض. احسب المسافة الأفقية.
\( x = v_x t = 4 \times 0.5 = 2 \; m \)
إذن تسقط الكرة على بعد 2 m من قاعدة الطاولة.
المقذوف المائل
المقذوف المائل يبدأ بسرعة لها مركبة أفقية ومركبة رأسية. أثناء الحركة، المركبة الأفقية تبقى ثابتة تقريبًا، بينما المركبة الرأسية تتغير بسبب الجاذبية. عند أعلى نقطة في المسار تكون السرعة الرأسية لحظيًا صفرًا، لكن السرعة الأفقية لا تصبح صفرًا.
زمن الوصول إلى أعلى نقطة
إذا قذف جسم لأعلى بمركبة رأسية ابتدائية \( v_{0y} \)، فإن زمن الوصول إلى أعلى نقطة:
\( t_{up} = \frac{v_{0y}}{g} \)
وعند الرجوع إلى نفس مستوى الإطلاق يكون الزمن الكلي تقريبًا:
\( t_{total} = \frac{2v_{0y}}{g} \)
المدى الأفقي
المدى هو المسافة الأفقية التي يقطعها المقذوف حتى يعود إلى مستوى الإطلاق. عند إهمال مقاومة الهواء وعودة الجسم إلى مستوى الإطلاق نفسه:
\( R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \)
أكبر مدى يحدث عند زاوية 45 درجة في الظروف المثالية. لكن في الواقع قد تغير مقاومة الهواء والارتفاع الابتدائي النتيجة.
مثال محلول: مقذوف مائل
قذف جسم بسرعة 20 m/s بزاوية 30 درجة. احسب المركبتين الابتدائيتين.
\( v_{0x} = 20\cos 30^\circ \approx 17.3 \; m/s \)
\( v_{0y} = 20\sin 30^\circ = 10 \; m/s \)
إذن الجسم يتحرك أفقيًا بسرعة ابتدائية 17.3 m/s ورأسيًا بسرعة ابتدائية 10 m/s إلى أعلى.
أخطاء شائعة
- الخلط بين المركبة الأفقية والرأسية.
- الاعتقاد أن السرعة كلها تساوي صفرًا عند أعلى نقطة؛ الصحيح أن المركبة الرأسية فقط تصبح صفرًا.
- استخدام \( \sin \) بدل \( \cos \) للمركبة الأفقية عند قياس الزاوية من الأفق.
- نسيان أن الزمن هو الرابط المشترك بين الحركتين.
خلاصة
حركة المقذوفات تصبح سهلة عندما نفصلها إلى حركة أفقية منتظمة وحركة رأسية متسارعة بفعل الجاذبية. نحل كل اتجاه بقوانينه، لكن الزمن يبقى واحدًا للحركتين. هذا الفصل هو سر حل مسائل المقذوفات دون دوخة رياضية غير لازمة.