الفكرة الأساسية
عندما يدور جسم صلب مثل قرص أو عجلة، فإن جميع نقاطه تكمل الزاوية نفسها في الزمن نفسه. لكن النقاط القريبة من المركز تقطع مسافة صغيرة، بينما النقاط البعيدة على الحافة تقطع مسافة أكبر. لهذا تكون السرعة الزاوية واحدة للجسم الصلب، لكن السرعة الخطية تختلف حسب نصف القطر.
العلاقة التي تربط السرعة الخطية بالسرعة الزاوية هي:
\( v = r\omega \)
حيث \( v \) السرعة الخطية أو المماسية، و\( r \) نصف القطر، و\( \omega \) السرعة الزاوية.
معنى السرعة الخطية
السرعة الخطية في الحركة الدائرية هي السرعة التي تقطع بها نقطة على الجسم مسافة على المسار الدائري. تسمى أيضًا السرعة المماسية لأنها تكون على اتجاه المماس للمسار. وحدتها m/s مثل أي سرعة خطية أخرى.
معنى السرعة الزاوية
السرعة الزاوية تقيس معدل تغير الزاوية مع الزمن، ووحدتها rad/s. إذا دار القرص كله دورة كاملة في ثانية واحدة، فإن كل نقطة عليه قطعت زاوية \( 2\pi \) rad خلال ثانية، أي إن السرعة الزاوية واحدة لكل النقاط.
لماذا تزيد السرعة الخطية بزيادة نصف القطر؟
تخيل نقطتين على قرص دوار: نقطة قرب المركز ونقطة عند الحافة. كلتاهما تكملان دورة في الزمن نفسه، لكن الحافة تقطع محيطًا أكبر. لذلك يجب أن تكون سرعتها الخطية أكبر. القانون \( v = r\omega \) يقول ذلك بوضوح: عند ثبات \( \omega \)، تزداد \( v \) بزيادة \( r \).
مثال محلول
قرص يدور بسرعة زاوية \( 10 \; rad/s \). احسب السرعة الخطية لنقطة تبعد 0.20 m عن المركز.
\( v = r\omega = 0.20 \times 10 = 2 \; m/s \)
إذا كانت نقطة أخرى تبعد 0.50 m عن المركز، فإن سرعتها:
\( v = 0.50 \times 10 = 5 \; m/s \)
النقطتان لهما السرعة الزاوية نفسها، لكن النقطة الأبعد أسرع خطيًا.
العجلات والسيارات
في عجلة سيارة تتدحرج دون انزلاق، تكون سرعة السيارة مرتبطة بسرعة دوران العجلة ونصف قطرها. إذا زاد نصف قطر العجلة وبقيت السرعة الزاوية نفسها، زادت السرعة الخطية عند الحافة. لذلك يؤثر حجم العجلة في العلاقة بين معدل الدوران وسرعة السيارة.
عند التدحرج دون انزلاق يمكن استخدام:
\( v_{car} = r\omega \)
حيث \( v_{car} \) سرعة مركز العجلة أو السيارة تقريبًا.
مثال: عجلة دراجة
عجلة نصف قطرها 0.35 m تدور بسرعة زاوية 12 rad/s. احسب سرعة الدراجة تقريبًا إذا لم يحدث انزلاق.
\( v = r\omega = 0.35 \times 12 = 4.2 \; m/s \)
أي إن سرعة الدراجة حوالي 4.2 m/s.
العلاقة مع التردد
بما أن:
\( \omega = 2\pi f \)
فإن:
\( v = r(2\pi f) = 2\pi rf \)
وهذه العلاقة مفيدة عندما يعطينا السؤال عدد الدورات في الثانية بدل السرعة الزاوية مباشرة.
مثال باستخدام التردد
قرص نصف قطره 0.10 m يدور بتردد 5 Hz. احسب سرعة نقطة على حافته.
\( v = 2\pi rf = 2\pi \times 0.10 \times 5 = \pi \; m/s \)
أي تقريبًا \( 3.14 \; m/s \).
أخطاء شائعة
- الاعتقاد أن كل نقاط القرص لها السرعة الخطية نفسها.
- استخدام القطر بدل نصف القطر في العلاقة \( v = r\omega \).
- نسيان تحويل rpm إلى rad/s قبل استخدام القانون.
- الخلط بين m/s وrad/s في الوحدات.
خلاصة
العلاقة \( v = r\omega \) تربط عالم الدوران بالعالم الخطي. السرعة الزاوية تصف معدل الدوران، والسرعة الخطية تصف المسافة المقطوعة على المسار الدائري في الثانية. عند نفس السرعة الزاوية، النقطة الأبعد عن المركز تكون أسرع خطيًا. بسيطة، لكنها تفسر نصف مشاكل العجلات والأقراص تقريبًا.
