دائرة الوحدة والقيم الدقيقة للدوال المثلثية
ما دائرة الوحدة؟
دائرة الوحدة هي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1. أهميتها أنها تربط الزوايا بالإحداثيات: إذا صنعت الزاوية t نقطة على الدائرة، فإن إحداثيي النقطة يكونان (cos t,sin t). لذلك جيب التمام هو الإحداثي x، والجيب هو الإحداثي y.
الزوايا الخاصة
أكثر الزوايا استخدامًا هي 0، \(\frac{\pi}{6}\)، \(\frac{\pi}{4}\)، \(\frac{\pi}{3}\)، \(\frac{\pi}{2}\)، وما يقابلها في الأرباع الأخرى. حفظ هذه القيم لا يعني الحفظ الأعمى؛ الأفضل فهمها من مثلثات 30-60-90 و45-45-90 ثم تثبيتها بالتدريب.
إشارات الدوال حسب الربع
في الربع الأول تكون جميع الدوال موجبة. في الربع الثاني يكون الجيب موجبًا فقط من بين الجيب وجيب التمام والظل. في الربع الثالث يكون الظل موجبًا. في الربع الرابع يكون جيب التمام موجبًا. هذه القاعدة تساعد على اختيار الإشارة الصحيحة للقيمة الدقيقة.
قيم أساسية
لزاوية \(\frac{\pi}{6}\): \(\sin=\frac12\)، \(\cos=\frac{\sqrt3}{2}\). لزاوية \(\frac{\pi}{4}\): \(\sin=\cos=\frac{\sqrt2}{2}\). لزاوية \(\frac{\pi}{3}\): \(\sin=\frac{\sqrt3}{2}\)، \(\cos=\frac12\). والظل يساوي \(\frac{\sin}{\cos}\).
مثال محلول 1
أوجد \(\cos\frac{5\pi}{6}\). الزاوية \(\frac{5\pi}{6}\) تقع في الربع الثاني، وزاويتها المرجعية \(\frac{\pi}{6}\). قيمة \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\)، لكن جيب التمام سالب في الربع الثاني، إذن \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\).
مثال محلول 2
أوجد \(\tan\frac{7\pi}{4}\). الزاوية في الربع الرابع، والزاوية المرجعية \(\frac{\pi}{4}\). قيمة الظل للزاوية المرجعية 1، لكن الظل سالب في الربع الرابع، إذن \(\tan\frac{7\pi}{4}=-1\).
أهمية دائرة الوحدة
دائرة الوحدة ليست شكلًا للزينة في كتاب الرياضيات. إنها أداة لحل المعادلات المثلثية، فهم الرسوم البيانية، تحديد الإشارات، وتحويل الزوايا بين الدرجات والراديان. كلما أصبحت دائرة الوحدة مألوفة، قلت الحاجة إلى التخمين في أسئلة المثلثات.
