جمع القطع المستقيمة وإيجاد الأطوال المجهولة
إذا كانت النقطة B بين A وC، فإن طول القطعة الكلية يساوي مجموع الجزأين:
AB+BC=AC
إيجاد جزء مجهول
إذا كان AC=13.2 مترًا وBC=5.8 مترًا، فإن AB=AC-BC=13.2-5.8=7.4 مترًا.
إيجاد الطول الكلي
إذا كان EG=2.5 بوصة وGF=2.8 بوصة، وكانت G بين E وF، فإن EF=EG+GF=5.3 بوصة.
الكسور والأعداد الكسرية
إذا كان \(PQ=13\frac34\) قدمًا و\(PR=6\frac58\) قدمًا، يجب أولًا تحديد ترتيب النقاط من وصف المسألة. عند طرح الأطوال نوحد المقامات: \(13\frac68-6\frac58=7\frac18\).
أطوال جبرية
إذا كان AB=x، وBC=2x+3، وAC=4x-12، فإن:
x+(2x+3)=4x-12
ومنها 3x+3=4x-12، إذن x=15. بعد ذلك نعوض لإيجاد كل طول ونتحقق أن الجزأين يجمعان إلى الكل.
خطوات الحل
- حدد النقطة الواقعة بين النقطتين الأخريين.
- اكتب معادلة الجزء + الجزء = الكل.
- عوّض بالأطوال المعطاة.
- حل المعادلة ووحّد الوحدات.
- تحقق بجمع الجزأين.
أخطاء شائعة
- جمع طول الجزء مع الكل بدل الجزأين.
- تجاهل ترتيب النقاط.
- خلط السنتيمتر بالمتر أو البوصة بالقدم.
- نسيان التحقق من أن الأطوال موجبة.
الرموز الهندسية
\(\overline{AB}\) يرمز إلى القطعة نفسها، بينما AB يرمز عادة إلى طولها وهو عدد غير سالب. إذا كانت B بين A,C، نكتب A-B-C.
أمثلة مفصلة
مثال 1: إذا كان JK=0.75 سم وKL=0.35 سم، فإن JL=0.75+0.35=1.10 سم.
مثال 2: إذا كان AC=13.2 م وBC=5.8 م، فإن AB=13.2-5.8=7.4 م.
مثال 3: إذا كان \(PQ=13\frac34\) قدمًا هو الكل، و\(PR=6\frac58\) قدمًا جزءًا منه، فإن الجزء الآخر \(QR=13\frac68-6\frac58=7\frac18\) قدمًا.
معادلات من خطوتين
إذا كانت Q بين P,R، وPQ=2a-1، وQR=2a، وPR=19، فنكتب:
\((2a-1)+2a=19\Rightarrow4a=20\Rightarrow a=5\).
إذن PQ=9، وQR=10، ومجموعهما 19.
نقطة المنتصف
إذا كانت M منتصف \(\overline{AB}\)، فإن AM=MB، وAB=2AM. فإذا كان AB=18، فكل نصف طوله 9.
الإحداثيات على خط الأعداد
طول القطعة بين إحداثيين x1,x2 هو \(|x_2-x_1|\). فالمسافة بين -4 و7 تساوي \(|7-(-4)|=11\).
تحديد الرسم المناسب
لا نعتمد على الشكل إذا كُتب أنه غير مرسوم حسب المقياس. المعطيات العددية وعلاقة «بين» هي المرجع.
تدريبات
- إذا AB=4.6,BC=3.9، فإن AC=8.5.
- إذا AC=20,AB=7.5، فإن BC=12.5.
- إذا M منتصف AB وAM=3x+1,MB=16، فإن x=5.