المعدلات المرتبطة في مسائل التفاضل
المعنى
المعدلات المرتبطة هي مسائل يكون فيها أكثر من مقدار يتغير مع الزمن، ونحتاج إلى إيجاد معدل تغير أحدها اعتمادًا على معدل تغير مقدار آخر. مثل تغير نصف قطر دائرة وتغير مساحتها، أو حركة سلم وانزلاق طرفيه.
خطوات الحل
ارسم شكلًا إن وجد، عرّف المتغيرات، اكتب علاقة رياضية بين المتغيرات، اشتق الطرفين بالنسبة إلى الزمن t، ثم عوّض بالقيم المعطاة في اللحظة المطلوبة.
مثال محلول 1
مساحة دائرة \(A=\pi r^2\). إذا كان نصف القطر يزيد بمعدل 2 سم/ث، فأوجد معدل تغير المساحة عندما r=5. نشتق: \(\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\). إذن \(\frac{dA}{dt}=2\pi(5)(2)=20\pi\) سم مربع/ث.
مثال محلول 2
إذا كان حجم كرة \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) ونصف قطرها يزيد بمعدل 0.5 م/ث، فإن \(\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\). عند r=2 يكون المعدل \(8\pi\) م³/ث.
أخطاء شائعة
لا تعوض القيم قبل الاشتقاق إذا كانت المتغيرات تتغير. التعويض المبكر يقتل المسألة قبل أن تبدأ. اشتق أولًا ثم عوّض.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.