الضرب الاتجاهي للمتجهات ومساحة متوازي الأضلاع
الفكرة
الضرب الاتجاهي بين متجهين في الفضاء يعطي متجهًا جديدًا عموديًا على المتجهين الأصليين. لذلك يستخدم في الهندسة الفراغية لإيجاد متجه عمودي ومساحات مرتبطة بالمتجهات.
الصيغة العامة
إذا كان \(\vec a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\) و\(\vec b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle\)، فإن \(\vec a\times\vec b\) يحسب باستخدام المحدد، ويكون عموديًا على كل من \(\vec a\) و\(\vec b\).
المساحة
مقدار الضرب الاتجاهي \(|\vec a\times\vec b|\) يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه المتجهان. أما مساحة المثلث فهي نصف ذلك المقدار.
مثال محلول 1
ليكن \(\vec a=\langle1,0,0\rangle\) و\(\vec b=\langle0,1,0\rangle\). عندها \(\vec a\times\vec b=\langle0,0,1\rangle\)، وهو متجه عمودي على المستوي xy.
مثال محلول 2
إذا كان \(|\vec a\times\vec b|=18\)، فإن مساحة متوازي الأضلاع هي 18، ومساحة المثلث الذي له الضلعان نفسيهما هي 9.
تنبيه
الضرب الاتجاهي غير تبديلي؛ أي إن \(\vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a)\). قلب الترتيب يغير الاتجاه.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.