نظرية فيثاغورس وعكسها وتطبيقاتها
النظرية
نظرية فيثاغورس تنطبق على المثلث القائم فقط. إذا كان ضلعا القائمة هما a و b، والوتر هو c، فإن العلاقة هي: a2+b2=c2. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا أطول أضلاع المثلث القائم. إذا لم تحدد الوتر بشكل صحيح، فالحل كله سيجلس على كرسي مكسور.
عكس النظرية
عكس نظرية فيثاغورس يقول: إذا كانت أطوال أضلاع مثلث تحقق العلاقة a2+b2=c2 حيث c هو الضلع الأكبر، فإن المثلث قائم الزاوية. هذا العكس مهم جدًا في أسئلة التحقق من نوع المثلث، خاصة عندما تعطى الأطوال فقط دون رسم.
مثال محلول 1
مثلث قائم، طول أحد ضلعي القائمة 6، وطول الضلع الآخر 8. أوجد الوتر. نطبق: c2=62+82=36+64=100، إذن c=10. الوتر يساوي 10.
مثال محلول 2
مثلث قائم وتره 13، وأحد ضلعي القائمة 5. أوجد الضلع الآخر. نكتب: 52+b2=132، أي 25+b2=169. إذن b2=144، ومنه b=12.
مثال على العكس
هل الأطوال 7 و24 و25 تكون مثلثًا قائمًا؟ نأخذ الضلع الأكبر 25 ونختبر: 72+242=49+576=625، و 252=625. إذن العلاقة صحيحة، والمثلث قائم.
تطبيقات حياتية وهندسية
تستخدم نظرية فيثاغورس في حساب القطر داخل المستطيل، طول السلم المائل على الحائط، المسافة المباشرة بين نقطتين، والتحقق من الزوايا القائمة في البناء والرسم الهندسي. في المستوى الإحداثي، يظهر القانون داخل صيغة المسافة بين نقطتين، لذلك ففهم فيثاغورس يجعل الهندسة التحليلية أسهل بكثير.
تنبيهات
لا تستخدم النظرية في مثلث غير قائم إلا إذا كان السؤال يطلب التحقق من كونه قائمًا باستخدام العكس. ولا تنس أن الضلع الأكبر هو المرشح للوتر عند التحقق. أيضًا، إذا كان الناتج c2=50، فلا تقل إن c=25، بل \(c=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).