تحويلات الدوال الأم: الإزاحة والانعكاس والتمدد

تحويلات الدوال من أهم الأفكار التي تساعد الطالب على فهم الرسم البياني بسرعة. بدل أن نرسم كل دالة من الصفر، نبدأ من دالة معروفة اسمها الدالة الأم، ثم نحدد ما حدث لها: هل تحركت إلى اليمين أو اليسار؟ هل ارتفعت أو انخفضت؟ هل انعكست؟ هل تمددت أو انكمشت؟

الفكرة الأساسية بسيطة: الدالة الجديدة غالبًا تكون نسخة من الدالة الأم، لكن بعد إجراء تحويل أو أكثر عليها.

ما المقصود بالدالة الأم؟

الدالة الأم هي أبسط صورة للدالة قبل أي تحويل. ومن أمثلتها:

y=x الدالة الخطية.
y=x² الدالة التربيعية.
$y=|x|$ دالة القيمة المطلقة.
$y=\sqrt{x}$ دالة الجذر التربيعي.
y=x³ الدالة التكعيبية.

الصورة العامة للتحويلات

يمكن كتابة كثير من التحويلات بالصورة الآتية:

$y=a\,f(b(x-h))+k$

h يتحكم في الإزاحة الأفقية.
k يتحكم في الإزاحة الرأسية.
a يتحكم في التمدد أو الانكماش الرأسي، وقد يسبب انعكاسًا حول محور x.
b يتحكم في التمدد أو الانكماش الأفقي، وقد يسبب انعكاسًا حول محور y.

أولًا: الإزاحة الرأسية

عندما تكون الدالة على صورة y=f(x)+k فإن الرسم يتحرك رأسيًا:

إلى الأعلى إذا كان $k \gt 0$.
إلى الأسفل إذا كان $k \lt 0$.

مثال سريع: الدالة y=x²+4 هي الدالة y=x² مزاحة 4 وحدات إلى الأعلى.

ثانيًا: الإزاحة الأفقية

عندما تكون الدالة على صورة y=f(x-h) أو y=f(x+h) فإن الرسم يتحرك أفقيًا:

f(x-h) تعني إزاحة إلى اليمين بمقدار h.
f(x+h) تعني إزاحة إلى اليسار بمقدار h.

هذه أكثر نقطة تخدع الطلاب؛ لأن الإشارة داخل القوس تكون عكس اتجاه الحركة. يعني x-3 يمين، وx+3 يسار. الرياضيات هنا عاملة فيها بريئة، وهي ليست بريئة أبدًا.

ثالثًا: الانعكاس

الانعكاس يعني قلب الرسم حول أحد المحورين:

y=-f(x) يعني انعكاسًا حول محور x.
y=f(-x) يعني انعكاسًا حول محور y.

مثال: الدالة y=-x² هي انعكاس للدالة y=x² حول محور x، لذلك تفتح إلى الأسفل بدل الأعلى.

رابعًا: التمدد والانكماش الرأسي

عندما تكون الدالة على صورة y=a f(x) فإن المعامل a يؤثر في قيم y:

إذا كان $|a| \gt 1$ يحدث تمدد رأسي.
إذا كان $0 \lt |a| \lt 1$ يحدث انكماش رأسي.
إذا كان $a \lt 0$ يحدث انعكاس حول محور x أيضًا.

خامسًا: التمدد والانكماش الأفقي

عندما يكون التغيير داخل الدالة، مثل f(bx)، يكون التأثير أفقيًا:

إذا كان $|b| \gt 1$ يحدث انكماش أفقي.
إذا كان $0 \lt |b| \lt 1$ يحدث تمدد أفقي.

التأثير الأفقي غالبًا يكون عكس المتوقع، لذلك يحتاج إلى انتباه أكبر.

مثال محلول 1: إزاحة دالة تربيعية

إذا كانت الدالة الأم y=x²، فما التحويلات في الدالة y=(x-3)²+2؟

$إزاحة الدالة التربيعية ثلاث وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى الأعلى$

الحل:

x-3 داخل القوس يعني إزاحة 3 وحدات إلى اليمين.
+2 خارج القوس يعني إزاحة وحدتين إلى الأعلى.
الدالة لا تنعكس ولا تتمدد؛ لأن معامل الدالة ما زال 1.

إذن: الدالة y=(x-3)²+2 هي الدالة y=x² مزاحة 3 وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى الأعلى.

الرأس الجديد: كان رأس الدالة الأم عند (0,0)، وبعد التحويل أصبح عند (3,2).

مثال محلول 2: انعكاس وتمدد لدالة القيمة المطلقة

حلّل التحويلات في الدالة $y=-2|x+1|$.

$تحويل دالة القيمة المطلقة بإزاحة وانعكاس وتمدد رأسي$

الحل:

الدالة الأم هي $y=|x|$.
x+1 يعني إزاحة وحدة واحدة إلى اليسار.
المعامل 2 يعني تمددًا رأسيًا بمعامل 2.
الإشارة السالبة خارج القيمة المطلقة تعني انعكاسًا حول محور x.

إذن: الرسم ينتقل وحدة إلى اليسار، ثم يتمدد رأسيًا، ثم ينعكس إلى الأسفل.

رأس الدالة: يصبح عند (-1,0).

مثال محلول 3: إزاحة دالة الجذر التربيعي

إذا كانت الدالة الأم $y=\sqrt{x}$، فما التحويلات في الدالة $y=\sqrt{x-4}-1$؟

$إزاحة دالة الجذر التربيعي أربع وحدات إلى اليمين ووحدة إلى الأسفل$

الحل:

x-4 داخل الجذر يعني إزاحة 4 وحدات إلى اليمين.
-1 خارج الجذر يعني إزاحة وحدة واحدة إلى الأسفل.

إذن: نقطة البداية تنتقل من (0,0) إلى (4,-1).

المجال: بما أن ما داخل الجذر يجب أن يكون غير سالب، فإن $x-4\ge 0$، أي $x\ge 4$.

مثال محلول 4: انكماش رأسي

ما التحويل في الدالة $y=\frac{1}{2}f(x)$ مقارنة بالدالة الأم y=f(x)؟

الحل:

المعامل الخارجي هو $\frac{1}{2}$.
هذا المعامل بين 0 و1.
إذن يحدث انكماش رأسي.

معنى ذلك: كل قيمة من قيم y تصبح نصف قيمتها الأصلية، فيقترب الرسم من محور x.

مثال محلول 5: أكثر من تحويل في دالة تكعيبية

حلّل التحويلات في الدالة y=-(x+2)³+1 مقارنة بالدالة الأم y=x³.

$تحويل الدالة التكعيبية بإزاحة وانعكاس$

الحل:

x+2 يعني إزاحة وحدتين إلى اليسار.
الإشارة السالبة خارج القوس تعني انعكاسًا حول محور x.
+1 يعني إزاحة وحدة واحدة إلى الأعلى.

إذن: الدالة التكعيبية تتحرك وحدتين إلى اليسار، وتنعكس حول محور x، ثم ترتفع وحدة واحدة.

جدول مختصر للتحويلات

الصيغة	نوع التحويل
f(x)+k	إزاحة رأسية إلى الأعلى أو الأسفل
f(x-h)	إزاحة أفقية إلى اليمين
f(x+h)	إزاحة أفقية إلى اليسار
-f(x)	انعكاس حول محور x
f(-x)	انعكاس حول محور y
a f(x)	تمدد أو انكماش رأسي
f(bx)	تمدد أو انكماش أفقي

أخطاء شائعة في تحويلات الدوال

الاعتقاد أن x-3 تعني إزاحة لليسار، والصحيح أنها إلى اليمين.
نسيان تأثير الإشارة السالبة خارج الدالة، وهي تعني انعكاسًا حول محور x.
الخلط بين التمدد الرأسي والتمدد الأفقي.
عدم تحديد الدالة الأم قبل البدء بالحل.
إهمال الرأس أو نقطة البداية، مع أنها تساعد كثيرًا في الرسم.

طريقة سريعة للحل في الاختبار

حدّد الدالة الأم أولًا.
ابحث عن التغيير داخل القوس لتعرف الإزاحة الأفقية.
ابحث عن العدد خارج الدالة لتعرف الإزاحة الرأسية.
انتبه للإشارة السالبة: هل هي خارج الدالة أم داخلها؟
افحص المعاملات لتحديد التمدد أو الانكماش.
اكتب النتيجة بجملة واضحة.

تدريبات سريعة

حدّد التحويلات في y=(x+5)²-3.
حدّد التحويلات في $y=3|x-2|$.
حدّد نقطة البداية في $y=\sqrt{x+1}+4$.
ما نوع التحويل في y=-f(x)؟

خلاصة الدرس

تحويلات الدوال تساعدنا على فهم العلاقة بين المعادلة والرسم البياني. الإزاحة تغيّر مكان الرسم، والانعكاس يقلبه، والتمدد أو الانكماش يغيّر اتساعه أو ارتفاعه. وأفضل طريقة لإتقان هذا الدرس هي البدء دائمًا من الدالة الأم، ثم قراءة كل جزء في الدالة الجديدة بهدوء.

تحويلات الدوال الأم: الإزاحة والانعكاس والتمدد