ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة وقواعد الإشارات
نحسب القيمة العددية أولًا من القيم المطلقة، ثم نحدد الإشارة. قواعد القسمة هي نفسها قواعد الضرب.
قاعدة الإشارات
- إشارتان متماثلتان: الناتج موجب، مثل (-7)(-4)=28 و\((-24)\div(-4)=6\).
- إشارتان مختلفتان: الناتج سالب، مثل (-7)(4)=-28 و\(20\div(-4)=-5\).
أكثر من عامل
إذا كان عدد العوامل السالبة زوجيًا فالناتج موجب، وإذا كان فرديًا فالناتج سالب. مثال: (-7)(-5)(-3)=-105 لأن عدد العوامل السالبة ثلاثة.
القوى والأساس السالب
الأقواس مهمة: (-5)2=25، و(-5)3=-125. أما -52 فتعني -(52)=-25 وفق ترتيب العمليات.
تطبيقات
- خصم 4 دراهم شهريًا لمدة سنة يمثل (-4)(12)=-48 درهمًا.
- انحسار 3 سم سنويًا لمدة 8 سنوات يمثل (-3)(8)=-24 سم.
- للتحقق من \((-45)\div9=-5\)، نحسب (-5)(9)=-45.
خطوات الحل
- حدد العملية.
- حدد إشارة الناتج قبل الحساب.
- اضرب أو اقسم القيم المطلقة.
- أعد الإشارة.
- طبّق ترتيب العمليات إذا احتوى التعبير قوى أو أقواسًا.
أخطاء شائعة
- القول إن السالب في السالب سالب.
- نسيان أن الصفر مضروبًا في أي عدد يساوي صفرًا.
- القسمة على صفر.
- إهمال الأقواس حول الأساس السالب عند رفعه لقوة.
اشتقاق قواعد الإشارات
نعرف أن 3×(-4)=-12 بوصفه جمع -4 ثلاث مرات. ولأن \(0=(-3)\times0=(-3)(4+(-4))\)، فإن (-3)(4)+(-3)(-4)=0، ومن ثم (-3)(-4)=12.
جدول الإشارات
- (+)×(+)=+
- (+)×(-)=-
- (- )×(+)=-
- (- )×(-)=+
وينطبق الجدول نفسه على القسمة.
أمثلة مع ترتيب العمليات
مثال 1:(-4)(-3)(-1). حاصل أول عاملين 12، ثم 12(-1)=-12.
مثال 2: \(f^2\div d^2\) عند f=-9,d=6: \(81\div36=\frac94=2.25\).
مثال 3: \((x+y)\div(-3)\) عند x=-8,y=5: \((-3)\div(-3)=1\).
الأس السالب مقابل العدد السالب
في (-6)2 الأس يطبق على السالب والموجب داخل القوس، فالناتج 36. أما -62 فالقوة تطبق على 6 أولًا، ثم توضع الإشارة: -36.
معدل التغير السالب
إذا تناقصت المسافة المتبقية 60 كم كل ساعة، فمعدل التغير -60 كم/ساعة. السالب يصف اتجاه التغير ولا يعني أن المسافة الفيزيائية سالبة.
التحقق بالقسمة أو الضرب العكسي
إذا كان \(-81\div9=-9\)، فالتحقق (-9)(9)=-81. وإذا كان (-12)(-4)=48، فالتحقق \(48\div(-4)=-12\).
تدريبات
- (-5)3=-125.
- (-8)(-2)(-4)=-64.
- \(-30\div(-5)=6\).
- \(50\div(-5)=-10\).