القطع الزائد: المحاور والبؤرتان والمقاربات
التعريف
القطع الزائد هو مجموعة النقاط التي يكون الفرق المطلق بين بُعديها عن بؤرتين ثابتتين مقدارًا ثابتًا. في التمثيل البياني يظهر على شكل فرعين منفصلين، وتساعد المقاربات على رسمه وفهم اتجاهه.
الصورة القياسية
إذا كان المحور العرضي أفقيًا فالمعادلة تكون \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\). وإذا كان المحور العرضي رأسيًا فالمعادلة تكون \(\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\). الإشارة الموجبة تحدد اتجاه الفتح.
البؤرتان والمقاربات
في القطع الزائد نستخدم العلاقة c2=a2+b2. إذا كان الفتح أفقيًا فالبؤرتان \((h\pm c,k)\) والمقاربات \(y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)\). إذا كان الفتح رأسيًا فالمقاربات \(y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h)\).
مثال محلول 1
حلل المعادلة \(\frac{(x-2)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}=1\). المركز (2,-1)، والفتح أفقي لأن الحد الموجب هو حد x. لدينا a=4 وb=3، إذن c2=25 وc=5. البؤرتان (-3,-1) و(7,-1).
مثال محلول 2
للمعادلة السابقة تكون المقاربات: \(y+1=\pm\frac{3}{4}(x-2)\). هذه المستقيمات ليست جزءًا من القطع الزائد، لكنها ترشد شكل الفرعين.
تنبيه
لا تستخدم علاقة القطع الناقص c2=a2-b2 هنا. في القطع الزائد العلاقة هي الجمع: c2=a2+b2.
خلاصة سريعة
هذا الدرس يساعد الطالب على فهم فكرة السؤال قبل اختيار القانون. أفضل طريقة للمذاكرة هي حل مثالين على الأقل بعد قراءة القاعدة، ثم مقارنة الخطوات لا الناتج فقط.