اختبار المشتقة الأولى للتزايد والتناقص والقيم القصوى
الفكرة
إشارة المشتقة تخبرنا بسلوك الدالة. إذا كانت المشتقة موجبة فالدالة متزايدة، وإذا كانت سالبة فالدالة متناقصة. وعند تغير الإشارة حول نقطة حرجة قد تظهر قيمة عظمى أو صغرى محلية.
خطوات الحل
نوجد المشتقة، نحدد النقاط الحرجة حيث تساوي المشتقة صفرًا أو لا توجد، نضعها على خط الأعداد، نختبر إشارة المشتقة في كل فترة، ثم نستنتج السلوك.
مثال محلول 1
للدالة f(x)=x2-4x، المشتقة \(f'(x)=2x-4\). النقطة الحرجة عند x=2. قبلها المشتقة سالبة وبعدها موجبة، إذن توجد قيمة صغرى محلية عند x=2.
مثال محلول 2
إذا تغيرت إشارة المشتقة من موجبة إلى سالبة عند نقطة حرجة، فهذه قيمة عظمى محلية. أما إذا لم تتغير الإشارة فلا توجد قيمة قصوى عند تلك النقطة.
تنبيه
النقطة التي تجعل المشتقة صفرًا ليست دائمًا قيمة عظمى أو صغرى. يجب فحص تغير الإشارة، لا إعلان النصر مبكرًا.
خلاصة سريعة
هذا المقال يربط القاعدة بطريقة استخدامها في السؤال، ويعتمد على أمثلة محلولة تساعد الطالب على الانتقال من الحفظ إلى الفهم. الأفضل دائمًا إعادة حل الأمثلة يدويًا، لأن الرياضيات لا تُتعلّم بالمشاهدة فقط.
