القيمة المتوقعة والتوزيع الاحتمالي
الفكرة
التوزيع الاحتمالي يصف القيم الممكنة لمتغير عشوائي واحتمال كل قيمة. أما القيمة المتوقعة فهي متوسط طويل المدى لما نتوقع حدوثه إذا كررنا التجربة مرات كثيرة. هي ليست بالضرورة قيمة تحدث فعليًا، لكنها تمثل مركز الاحتمالات.
القانون
إذا كانت القيم الممكنة هي \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) واحتمالاتها \(P(x_1),P(x_2),\ldots,P(x_n)\)، فإن القيمة المتوقعة هي: \(E(X)=\sum xP(x)\). أي نضرب كل قيمة في احتمالها، ثم نجمع النتائج.
شروط التوزيع الاحتمالي
حتى يكون الجدول توزيعًا احتماليًا صحيحًا، يجب أن تكون كل الاحتمالات بين 0 و1، وأن يكون مجموعها 1. إذا كان المجموع أقل أو أكثر من 1 فهناك خطأ في الجدول أو في قراءة السؤال.
مثال محلول 1
لعبة تعطيك 10 دراهم باحتمال 0.2، و0 درهم باحتمال 0.8. القيمة المتوقعة هي 10(0.2)+0(0.8)=2. أي أن متوسط الربح على المدى الطويل هو درهمان لكل لعبة.
مثال محلول 2
إذا كان متغير عشوائي يأخذ القيم 1 و2 و3 باحتمالات 0.3,0.5,0.2، فإن E(X)=1(0.3)+2(0.5)+3(0.2)=0.3+1+0.6=1.9. لاحظ أن 1.9 ليست قيمة ضمن الجدول، وهذا طبيعي.
أخطاء شائعة
لا تجمع القيم وحدها ولا الاحتمالات وحدها. القيمة المتوقعة تحتاج إلى ضرب كل قيمة في احتمالها أولًا. ولا تنس فحص مجموع الاحتمالات قبل بدء الحل.
خلاصة سريعة
هذا الدرس يساعد الطالب على فهم فكرة السؤال قبل اختيار القانون. أفضل طريقة للمذاكرة هي حل مثالين على الأقل بعد قراءة القاعدة، ثم مقارنة الخطوات لا الناتج فقط.
مصادر موثوقة للاستزادة
- https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-1-probability-distribution-function-pdf-for-a-discrete-random-variable
- https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-2-mean-or-expected-value-and-standard-deviation
- https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library