الأعداد المركبة في الصورة القطبية ونظرية دي موفر
الفكرة
يمكن تمثيل العدد المركب z=a+bi كنقطة في المستوى المركب. الصورة القطبية تستخدم الطول r والزاوية \(\theta\) بدل الجزأين الحقيقي والتخيلي.
الصورة القطبية
نكتب العدد المركب على الصورة \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) حيث \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) و \(\tan\theta=\frac{b}{a}\) مع مراعاة الربع.
نظرية دي موفر
إذا كان \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)، فإن \(z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\). هذه النظرية تجعل حساب القوى أسهل بكثير من الضرب المتكرر.
مثال محلول 1
حوّل z=1+i إلى الصورة القطبية. نجد \(r=\sqrt2\) و \(\theta=45^\circ\). إذن \(z=\sqrt2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\).
مثال محلول 2
باستخدام دي موفر: (1+i)4. بما أن \(1+i=\sqrt2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\)، إذن \((1+i)^4=(\sqrt2)^4(\cos180^\circ+i\sin180^\circ)=4(-1+0i)=-4\).
تنبيه
عند حساب الزاوية لا تعتمد على قيمة الظل وحدها، لأن الظل يتكرر في أكثر من ربع. يجب تحديد الربع من إشارتي الجزأين الحقيقي والتخيلي.
خلاصة سريعة
هذا المقال يركز على الفهم العملي للمهارة، مع ربط القاعدة بطريقة الحل في أسئلة الاختيار من متعدد والأسئلة المقالية القصيرة. الأفضل أن يقرأ الطالب المثال ثم يعيد حله دون النظر إلى الخطوات، لأن القراءة وحدها في الرياضيات تشبه مشاهدة شخص يتمرن نيابة عنك.