خصائص المساواة: الانعكاس والتماثل والتعدي
المساواة علاقة بين مقدارين لهما القيمة نفسها. وتساعد خصائصها على تبرير خطوات الحل والبراهين بدل الاكتفاء بالحساب.
خاصية الانعكاس
كل مقدار يساوي نفسه: a=a. وفي الهندسة، القطعة \(\overline{AB}\) مطابقة لنفسها.
خاصية التماثل
إذا كان a=b، فإن b=a. مثال: إذا كان x=5، فإن 5=x. تبديل طرفي المساواة هو علامة واضحة على التماثل.
خاصية التعدي
إذا كان a=b وb=c، فإن a=c. مثال: إذا كان AB=CD وCD=EF، فإن AB=EF.
كيف أميز بينها؟
- نفس المقدار في الطرفين: انعكاس.
- تبديل الطرفين: تماثل.
- وصل مساواتين عبر مقدار مشترك: تعدي.
خصائص أخرى مفيدة
إضافة العدد نفسه أو طرحه من طرفي معادلة يحافظ على المساواة، وكذلك الضرب أو القسمة في العدد نفسه غير الصفري. هذه خصائص مختلفة عن الانعكاس والتماثل والتعدي.
أخطاء شائعة
- تسمية تبديل الطرفين انعكاسًا.
- استخدام التعدي من دون مقدار أوسط مشترك.
- تطبيق خواص المساواة على متباينات دون مراعاة قلب الإشارة عند الضرب أو القسمة في عدد سالب.
أمثلة رمزية وهندسية
| الخاصية | الصيغة | مثال هندسي |
|---|---|---|
| الانعكاس | a=a | AB=AB |
| التماثل | إذا a=b فإن b=a | إذا AB=CD فإن CD=AB |
| التعدي | إذا a=b,b=c فإن a=c | إذا AB=CD,CD=EF فإن AB=EF |
علاقتها بحل المعادلات
عندما نكتب x+3=8 ثم x=5، استعملنا خاصية طرح المساواة. وعندما نكتب بعد ذلك 5=x، استعملنا خاصية التماثل. تبرير كل انتقال مهم في البرهان ذي العمودين.
المساواة مقابل التطابق
الأعداد والأطوال تتساوى، أما الأشكال والقطع والزوايا فتتطابق. فإذا كان \(\overline{AB}\cong\overline{CD}\)، فإن طولي القطعتين يحققان AB=CD.
مثال متعدد الخطوات
إذا كان a=b، وb=7، فإن a=7 بالتعدي. وإذا أردنا كتابة 7=a، نستخدم التماثل بعد ذلك.
خصائص العمليات على طرفي المساواة
- إذا a=b، فإن a+c=b+c.
- إذا a=b، فإن a-c=b-c.
- إذا a=b، فإن ac=bc.
- إذا a=b و\(c\ne0\)، فإن \(\frac ac=\frac bc\).
تدريبات تشخيصية
- m=m: الانعكاس.
- إذا 4=y فإن y=4: التماثل.
- إذا x=y وy=z فإن x=z: التعدي.
- إذا p=q فإن p+6=q+6: خاصية الجمع للمساواة.