التمدد وتغيير الأبعاد بمعامل مقياس

التمدد تحويل هندسي يغيّر حجم الشكل مع المحافظة على شكله وقياسات زواياه. يتحدد بمركز تمدد ومعامل مقياس k. صورة كل نقطة تقع على الشعاع الخارج من المركز نحو النقطة الأصلية.

معنى معامل المقياس

• إذا \(k\gt 1\) يحدث تكبير.
• إذا \(0\lt k\lt 1\) يحدث تصغير.
• إذا k=1 لا يتغير الشكل.
• إذا كان \(k\lt 0\)، تقع الصورة في الجهة المقابلة من المركز مع تكبير أو تصغير بحسب \(|k|\).

عندما يكون المركز نقطة الأصل: \((x,y)\mapsto(kx,ky)\). أما إذا كان المركز C(a,b)، فالصورة \(P\prime=C+k(P-C)\)، أي \(x\prime=a+k(x-a)\)، و\(y\prime=b+k(y-b)\).

أمثلة محلولة

مثال 1

صورة P(3,-2) بمعامل 2 ومركز الأصل هي \(P\prime(6,-4)\).

مثال 2

صورة P(5,3) حول C(1,1) وبمعامل 1/2: المتجه P-C=(4,2)، نصفه (2,1)، ثم نضيف المركز فنحصل على \(P\prime(3,2)\).

مثال 3: إيجاد المعامل

إذا كان طول ضلع أصلي 8 وصورته 20، فإن k=20/8=2.5.

الأطوال والمساحات والحجوم

الأطوال والمحيطات تضرب في \(|k|\)، والمساحات في k²، والحجوم في \(|k|^3\). فإذا كان k=3، يصبح المحيط ثلاثة أمثال، والمساحة تسعة أمثال، والحجم 27 مثلاً.

علاقة التمدد بالتشابه

الشكل وصورته متشابهان: الزوايا المتناظرة متساوية، والأضلاع المتناظرة متناسبة. لكنهما لا يكونان متطابقين إلا إذا \(|k|=1\).

خطة الحل والتحقق

1. حدد المعطيات والمطلوب، واكتب الرموز بمعناها الصحيح.
2. اختر القاعدة المناسبة قبل إجراء الحساب.
3. نفذ الخطوات بالتسلسل، ولا تختصر خطوة تغيّر الإشارة أو المجال.
4. تحقق بالتعويض أو بالرسم أو بالتقدير، ثم اكتب الجواب بالصورة المطلوبة.

أخطاء شائعة

• ضرب الإحداثيات في k رغم أن المركز ليس الأصل.
• ضرب المساحة في k بدلاً من k².
• استخدام نسبة الأصل إلى الصورة بدلاً من الصورة إلى الأصل.
• افتراض أن التمدد يحافظ على الأطوال.

تدريبات قصيرة مع الإجابات

1. (-2,4) مع k=3 تصبح (-6,12).
2. مساحة 10 مع k=2 تصبح 40.
3. حجم 5 مع k=1/2 يصبح 5/8.

خلاصة مركزة

الفهم الجيد لا يقوم على حفظ الصيغة وحدها، بل على معرفة سبب استخدامها، وقراءة أثر كل معامل، ومقارنة النتيجة بالسلوك المتوقع. اجعل الرسم أو التحقق العددي جزءاً ثابتاً من الحل.

مراجع موثوقة للاستزادة

• OpenStax Prealgebra 2e: Scale and Geometry Applications
• OpenStax: Transformations