تحويل العدد العشري الدوري إلى كسر اعتيادي
كل عدد عشري دوري عدد نسبي، ويمكن تحويله إلى كسر باستعمال الضرب في قوة مناسبة للعدد 10 ثم الطرح لإزالة الجزء الدوري.
دورة تبدأ بعد الفاصلة مباشرة
لنحوّل \(x=0.\overline{3}\). بما أن الدورة رقم واحد، نضرب في 10: \(10x=3.\overline3\). بالطرح: 9x=3، ومنه \(x=\frac13\).
دورة من رقمين
إذا كان \(x=0.\overline{27}\)، نضرب في 100: \(100x=27.\overline{27}\). بالطرح 99x=27، إذن \(x=\frac{27}{99}=\frac3{11}\).
عدد دوري مختلط
لنحوّل \(x=0.3\overline{21}\). يوجد رقم غير دوري واحد ودورة من رقمين:
\(10x=3.\overline{21}\)، و\(1000x=321.\overline{21}\). بالطرح: 990x=318، لذلك \(x=\frac{318}{990}=\frac{53}{165}\).
قاعدة مختصرة
البسط يساوي العدد المكوّن من الجزء غير الدوري والدوري مطروحًا منه الجزء غير الدوري. والمقام يحتوي تسعات بعدد أرقام الدورة، ثم أصفارًا بعدد الأرقام غير الدورية.
التحقق
نقسم البسط على المقام؛ فإذا عاد التمثيل الدوري نفسه فالتحويل صحيح.
أخطاء شائعة
- اختيار قوة 10 لا تزيح دورة كاملة.
- طرح المعادلتين بترتيب غير متسق.
- نسيان الأصفار المقابلة للجزء غير الدوري.
- ترك الكسر دون تبسيط.
الصيغة العامة للدوري البسيط
إذا كانت الدورة تتكون من n أرقام وتمثل العدد الصحيح R، فإن:
\(0.\overline{R}=\frac{R}{10^n-1}\).
مثلًا \(0.\overline{142}=\frac{142}{999}\).
مثال دوري مختلط مفصل
حوّل \(2.1\overline6\) إلى كسر. نضع \(x=2.1666\ldots\). بما أن هناك منزلة غير دورية واحدة:
\(10x=21.666\ldots\)، و\(100x=216.666\ldots\).
بالطرح: 90x=195، ومنه \(x=\frac{195}{90}=\frac{13}{6}\).
الأعداد الدورية السالبة
نحوّل القيمة المطلقة ثم نعيد الإشارة. فمثلًا \(-0.\overline{27}=-\frac{27}{99}=-\frac3{11}\).
لماذا تنجح طريقة الطرح؟
عند ضرب العدد في قوة مناسبة للعدد 10، تصطف السلسلة الدورية في المعادلتين. طرحهما يلغي الذيل اللانهائي بالكامل ويترك معادلة خطية منتهية.
حالات خاصة
- \(0.\overline9=1\)، لأن 9x=9 عندما \(x=0.\overline9\).
- \(0.1\overline0=0.1\) لأن الأصفار المتكررة لا تغير القيمة.
- يجب تحديد بداية الخط فوق الأرقام ونهايته بدقة.
تدريبات محلولة
- \(0.\overline6=\frac69=\frac23\).
- \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}=\frac5{11}\).
- \(0.2\overline7=\frac{27-2}{90}=\frac5{18}\).
- \(1.\overline3=1+\frac13=\frac43\).