المتباينات المركبة هي عبارات رياضية تجمع متباينتين أو أكثر لتحديد مجموعة من القيم التي تحقق شروطاً متعددة. وتظهر أهميتها عندما لا يكفي حد واحد لوصف الموقف؛ مثل القول إن درجة الحرارة أكبر من 18 وأقل من أو تساوي 26، أو أن العمر أقل من 12 أو لا يقل عن 65. في هذا الدرس سنتعلم معنى «و» و«أو»، وطريقة الحل، والتمثيل على خط الأعداد، وكتابة الحل بالفترات، وعلاقة المتباينات المركبة بالقيمة المطلقة، مع أمثلة مفصلة وتدريبات محلولة.
ما المتباينة المركبة؟
المتباينة المركبة تتكون من متباينتين مرتبطتين بإحدى الكلمتين:
- و (AND): يجب أن يتحقق الشرطان معاً؛ لذلك نأخذ تقاطع مجموعتي الحل.
- أو (OR): يكفي أن يتحقق أحد الشرطين؛ لذلك نأخذ اتحاد مجموعتي الحل.
مثلاً، العبارة \(2\lt x\leq 7\) تعني في الوقت نفسه \(x\gt 2\) و \(x\leq 7\). أما العبارة \(x\lt -1\) أو \(x\geq 4\) فتصف منطقتين منفصلتين على خط الأعداد.
مراجعة رموز المقارنة
| الرمز | المعنى | شكل نقطة الحد على خط الأعداد |
|---|---|---|
| \(\lt \) | أصغر من | دائرة مفتوحة؛ لأن الحد غير مشمول |
| \(\gt \) | أكبر من | دائرة مفتوحة؛ لأن الحد غير مشمول |
| \(\le\) | أصغر من أو يساوي | دائرة مغلقة؛ لأن الحد مشمول |
| \(\ge\) | أكبر من أو يساوي | دائرة مغلقة؛ لأن الحد مشمول |
المتباينات المرتبطة بكلمة «و»: التقاطع
في متباينة «و» نبحث عن القيم الموجودة في الحلين معاً. إذا كان:
\[x\gt -2 \quad \text{و} \quad x\leq 5\]
فالحل هو جميع القيم الواقعة بين -2 و5، مع استبعاد -2 وإدخال 5:
\[-2\lt x\leq 5\]
وبترميز الفترات: (-2,5]. القوس الدائري بجانب -2 يعني أنه غير مشمول، والقوس المربع بجانب 5 يعني أنه مشمول.
مثال 1: حل متباينتين ثم إيجاد التقاطع
حل:
\[3x-4\gt 2 \quad \text{و} \quad 2x+1\leq 11\]
- المتباينة الأولى: \(3x-4\gt 2\)، فنضيف 4 للطرفين: \(3x\gt 6\)، ثم نقسم على 3: \(x\gt 2\).
- المتباينة الثانية: \(2x+1\leq 11\)، فنطرح 1: \(2x\leq 10\)، ثم نقسم على 2: \(x\leq 5\).
- لأن الرابط «و»، نأخذ الجزء المشترك: \(2\lt x\leq 5\).
الحل بالفترات:(2,5].
المتباينة الثلاثية
يمكن كتابة بعض متباينات «و» بصورة مختصرة ذات ثلاثة أجزاء، مثل:
\[-5\leq 2x+1\lt 9\]
نعامل الأطراف الثلاثة بالطريقة نفسها:
- نطرح 1 من الأجزاء الثلاثة: \(-6\leq 2x\lt 8\).
- نقسم الأجزاء الثلاثة على 2: \(-3\leq x\lt 4\).
إذن الحل هو [-3,4). ويمكن التحقق بتجربة قيمة داخل الفترة مثل x=0، وتجربة الحدين لمعرفة أيهما مشمول.
مثال 2: القسمة على عدد سالب
حل:
\[-8\lt -2x\leq 6\]
عند قسمة جميع الأجزاء على -2 يجب عكس اتجاه علامتي المتباينة:
\[4\gt x\geq -3\]
وبترتيبها تصاعدياً: \(-3\leq x\lt 4\)، أي [-3,4).
قاعدة أساسية: لا نعكس إشارة المتباينة عند الجمع أو الطرح، ولا عند الضرب أو القسمة بعدد موجب. نعكسها فقط عند الضرب أو القسمة بعدد سالب.
المتباينات المرتبطة بكلمة «أو»: الاتحاد
في متباينة «أو» نجمع كل القيم التي تحقق الشرط الأول أو الشرط الثاني أو كليهما. مثال:
\[x\leq -3 \quad \text{أو} \quad x\gt 2\]
الحل بالفترات هو:
\[(-\infty,-3]\cup(2,\infty)\]
لا تُكتب إشارة اللانهاية مع قوس مربع؛ لأن \(\infty\) و\(-\infty\) ليستا عددين يمكن إدخالهما في الحل.
مثال 3: حل متباينة «أو»
حل:
\[5-3x\leq -1 \quad \text{أو} \quad 2x+4\gt 10\]
- \(5-3x\le-1\Rightarrow -3x\le-6\Rightarrow x\ge2\). عُكست الإشارة عند القسمة على -3.
- \(2x+4\gt 10\Rightarrow 2x\gt 6\Rightarrow x\gt 3\).
- حل \(x\gt 3\) يقع كله داخل \(x\ge2\)، لذا الاتحاد الأبسط هو \(x\ge2\).
إذن الحل \([2,\infty)\). هذا المثال يوضح أن حل «أو» قد يُختصر إلى فترة واحدة إذا احتوت إحدى مجموعتي الحل الأخرى.
متى يكون الحل فارغاً أو جميع الأعداد الحقيقية؟
حالة لا حل
إذا طلبت «و» شرطين لا يمكن اجتماعهما، يكون الحل فارغاً. مثال:
\[x\lt 1 \quad \text{و} \quad x\ge4\]
لا يوجد عدد يحقق الشرطين معاً، لذا مجموعة الحل \(\varnothing\).
حالة جميع الأعداد الحقيقية
إذا كانت متباينة «أو» تغطي خط الأعداد كله، فالحل هو \(\mathbb{R}\). مثال:
\[x\lt 5 \quad \text{أو} \quad x\ge2\]
كل عدد حقيقي يحقق واحداً على الأقل من الشرطين، لذلك الحل جميع الأعداد الحقيقية.
التمثيل على خط الأعداد وكتابة الفترات
- استعمل دائرة مفتوحة عند \(\lt \) أو \(\gt \).
- استعمل دائرة مغلقة عند \(\le\) أو \(\ge\).
- في «و» ظلل منطقة التداخل فقط.
- في «أو» ظلل كل منطقة تنتمي إلى أي من الحلين.
- في ترميز الفترات، استخدم \(\cup\) لربط فترتين منفصلتين.
أمثلة سريعة:
| المتباينة | ترميز الفترة |
|---|---|
| \(-1\lt x\lt 6\) | (-1,6) |
| \(-1\leq x\lt 6\) | [-1,6) |
| \(x\lt -1\) أو \(x\ge6\) | \((-\infty,-1)\cup[6,\infty)\) |
| \(x\le4\) | \((-\infty,4]\) |
القيمة المطلقة والمتباينات المركبة
تمثل \(|x-a|\) المسافة بين x وa على خط الأعداد، ولذلك تتحول متباينات القيمة المطلقة إلى متباينات مركبة:
- إذا كان \(r\gt 0\)، فإن \(|x-a|\lt r\) تعني أن المسافة أقل من r، أي: \(a-r\lt x\lt a+r\). هذه متباينة «و».
- إذا كان \(r\gt 0\)، فإن \(|x-a|\gt r\) تعني أن المسافة أكبر من r، أي: \(x\lt a-r\) أو \(x\gt a+r\). هذه متباينة «أو».
مثال 4: قيمة مطلقة من نوع «و»
حل \(|x-3|\le5\):
\[-5\leq x-3\le5\]
بإضافة 3 إلى الأجزاء الثلاثة:
\[-2\leq x\le8\]
إذن الحل [-2,8].
مثال 5: قيمة مطلقة من نوع «أو»
حل \(|2x+1|\gt 7\):
\[2x+1\lt -7 \quad \text{أو} \quad 2x+1\gt 7\]
فنحصل على \(2x\lt -8\) أو \(2x\gt 6\)، ومنه:
\[x\lt -4 \quad \text{أو} \quad x\gt 3\]
وبالفترات: \((-\infty,-4)\cup(3,\infty)\).
تطبيقات حياتية
مثال 6: مجال درجة حرارة آمن
يعمل جهاز بكفاءة عندما تكون درجة الحرارة من \(18^\circ\) م حتى \(26^\circ\) م، مع شمول الحدين. إذا رمزنا للحرارة بـ T، فالنموذج هو:
\[18\leq T\le26\]
هذه متباينة مركبة من نوع «و»، وحلها [18,26].
مثال 7: أهلية الحصول على خصم
يحصل على الخصم من كان عمره أقل من 12 سنة أو كان عمره 65 سنة فأكثر. إذا كان العمر a:
\[a\lt 12 \quad \text{أو} \quad a\ge65\]
الحل \([0,12)\cup[65,\infty)\) إذا قيدنا العمر بالقيم غير السالبة.
خطة حل عملية في الاختبار
- حدد الرابط: هل المطلوب «و» أم «أو»؟
- حل كل متباينة: استخدم قواعد المعادلات مع الانتباه لعكس الإشارة عند الضرب أو القسمة بسالب.
- ارسم الحلين ذهنياً أو على خط الأعداد: الرسم يقلل أخطاء الاتحاد والتقاطع.
- ادمج الحل: تقاطع في حالة «و»، واتحاد في حالة «أو».
- اكتب الصورة المطلوبة: متباينة، أو خط أعداد، أو ترميز فترات.
- تحقق: جرّب قيمة من داخل الحل وقيمة من خارجه، وافحص نقاط الحدود.
أخطاء شائعة وكيف تتجنبها
- نسيان عكس الإشارة: عند القسمة على عدد سالب تتحول \(\lt \) إلى \(\gt \)، و\(\le\) إلى \(\ge\)، والعكس.
- الخلط بين «و» و«أو»: «و» تعني الجزء المشترك، أما «أو» فتعني جمع المنطقتين.
- اختيار نوع القوس خطأ: المساواة تعني أن الحد مشمول، فتستخدم دائرة مغلقة وقوساً مربعاً.
- وضع قوس مربع عند اللانهاية: اللانهاية دائماً مع قوس دائري.
- إجراء عملية على جزء واحد من متباينة ثلاثية: يجب تطبيق العملية نفسها على الأجزاء الثلاثة.
- عدم تبسيط الاتحاد: إذا احتوى حل على الآخر في مسألة «أو»، نكتب المجموعة الأكبر فقط.
تدريبات محلولة
- حل: \(1\lt 2x+3\le11\).
نطرح 3: \(-2\lt 2x\le8\)، ثم نقسم على 2: \(-1\lt x\le4\). الحل (-1,4]. - حل: \(4x-1\lt -9\) أو \(3x+2\ge14\).
الأولى تعطي \(x\lt -2\)، والثانية \(x\ge4\). الحل \((-\infty,-2)\cup[4,\infty)\). - حل: \(-3\leq 5-2x\lt 9\).
نطرح 5: \(-8\le-2x\lt 4\). نقسم على -2 ونعكس الإشارتين: \(4\geq x\gt -2\)، أي \(-2\lt x\le4\). - حل: \(|x+2|\lt 4\).
\(-4\lt x+2\lt 4\)، ثم نطرح 2: \(-6\lt x\lt 2\). - حل: \(|x-1|\ge3\).
\(x-1\le-3\) أو \(x-1\ge3\)، ومنه \(x\le-2\) أو \(x\ge4\).
خلاصة الدرس
المتباينة المركبة تصف أكثر من شرط في وقت واحد. الرابط «و» يقود إلى التقاطع وغالباً يعطي فترة محصورة، بينما الرابط «أو» يقود إلى الاتحاد وقد يعطي فترتين منفصلتين. احرص على عكس إشارة المتباينة عند الضرب أو القسمة بعدد سالب، وعلى مطابقة الدوائر والأقواس مع شمول نقاط الحدود. أفضل وسيلة للتحقق هي تمثيل كل شرط على خط الأعداد ثم قراءة المنطقة المطلوبة.