مخطط الشجرة في الاحتمالات والتجارب متعددة المراحل
الفكرة
مخطط الشجرة طريقة بصرية لتنظيم نتائج تجربة احتمالية تتكون من مرحلتين أو أكثر. كل فرع يمثل احتمال حدث، والمسار الكامل من البداية إلى النهاية يمثل نتيجة مركبة.
قاعدة الضرب
لاحتمال مسار كامل في مخطط الشجرة، نضرب احتمالات الفروع التي تكوّن ذلك المسار. فإذا أردنا احتمال حدوث A ثم B، فإننا غالبًا نحسب \(P(A)\times P(B\mid A)\).
قاعدة الجمع
إذا كان الحدث المطلوب يمكن أن يحدث عبر أكثر من مسار منفصل، نحسب احتمال كل مسار ثم نجمع. مثلًا احتمال الحصول على نتيجة واحدة حمراء وواحدة زرقاء قد يتحقق عبر: حمراء ثم زرقاء، أو زرقاء ثم حمراء.
مثال محلول 1
كيس فيه 3 كرات حمراء و2 زرقاء. نسحب كرة ثم نعيدها، ثم نسحب مرة ثانية. احتمال حمراء ثم زرقاء هو \(\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{25}\). لأن السحب مع الإرجاع، تبقى الاحتمالات كما هي.
مثال محلول 2
في المثال نفسه، احتمال الحصول على كرة واحدة حمراء وواحدة زرقاء بأي ترتيب هو: \(P(R ثم B)+P(B ثم R)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{25}\).
مثال محلول 3
إذا كان السحب بدون إرجاع، فإن الاحتمالات تتغير. احتمال حمراء ثم زرقاء يصبح \(\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\). الفرق هنا جوهري، وليس تفصيلًا صغيرًا.
أخطاء شائعة
أكثر خطأ شائع هو استخدام الاحتمال نفسه في المرحلة الثانية رغم أن التجربة بدون إرجاع. كذلك لا تجمع قبل أن تعرف هل المسارات بديلة أم متتابعة.
خلاصة سريعة
هذا الدرس يساعد الطالب على فهم فكرة السؤال قبل اختيار القانون. أفضل طريقة للمذاكرة هي حل مثالين على الأقل بعد قراءة القاعدة، ثم مقارنة الخطوات لا الناتج فقط.