المجموعات والعدد الرئيس للمجموعة (Cardinality)
المجموعة تجمّع محدد بوضوح من عناصر مميزة. نكتب العناصر بين قوسين معقوفين، مثل \(A=\{2,4,6\}\).
العدد الرئيس
العدد الرئيس للمجموعة هو عدد عناصرها المختلفة، ويرمز له \(|A|\) أو n(A). في المثال \(A=\{2,4,6\}\)، لدينا \(|A|=3\).
التكرار لا يغيّر المجموعة
\(\{1,1,2,2,3\}=\{1,2,3\}\)، ولذلك عددها الرئيس 3، لأن كل عنصر يُعد مرة واحدة.
المجموعة الخالية
المجموعة التي لا تحتوي أي عنصر يرمز لها \(\varnothing\)، وعددها الرئيس 0. انتبه: \(\{\varnothing\}\) تحتوي عنصرًا واحدًا، لذا عددها الرئيس 1.
مجموعات منتهية وغير منتهية
المجموعة المنتهية يمكن عد عناصرها. أما مجموعة الأعداد الطبيعية فغير منتهية، ولا يوصف عددها الرئيس بعدد طبيعي منتهٍ.
خطوات إيجاد العدد الرئيس
- حدد عناصر المجموعة.
- احذف التكرارات.
- تحقق إن كان العنصر نفسه مجموعة أو رمزًا مستقلًا.
- عد العناصر الباقية مرة واحدة.
أخطاء شائعة
- عد العنصر المكرر أكثر من مرة.
- الخلط بين \(\varnothing\) و\(\{\varnothing\}\).
- عد ترتيب العناصر؛ ترتيبها لا يغير المجموعة.
- الخلط بين العنصر \(a\in A\) والمجموعة الجزئية \(\{a\}\subseteq A\).
طرق وصف المجموعة
- السرد: \(A=\{2,4,6,8\}\).
- الوصف: \(A=\{x\mid x\text{ عدد زوجي موجب أصغر من }10\}\).
الانتماء والاحتواء
نكتب \(2\in A\) لأن 2 عنصر، ونكتب \(\{2,4\}\subseteq A\) لأنها مجموعة جزئية. لا يصح عادة تبديل الرمزين.
تساوي المجموعات
مجموعتان متساويتان إذا احتوتا العناصر نفسها، بصرف النظر عن الترتيب أو التكرار: \(\{1,2,3\}=\{3,2,1,1\}\).
عدد المجموعات الجزئية
إذا كان \(|A|=n\)، فإن عدد المجموعات الجزئية هو 2^n. فالمجموعة \(\{a,b,c\}\) لها 23=8 مجموعات جزئية، ومنها المجموعة الخالية والمجموعة نفسها.
الاتحاد والتقاطع والعدد الرئيس
للمجموعتين المنتهيتين:
\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
نطرح التقاطع لأن عناصره عُدّت مرتين. فإذا كان \(|A|=8\)، و\(|B|=5\)، و\(|A\cap B|=2\)، فإن \(|A\cup B|=11\).
أمثلة دقيقة
- \(|\{2,4,6\}|=3\).
- \(|\{1,1,1\}|=1\).
- \(|\varnothing|=0\).
- \(|\{\varnothing\}|=1\).
- \(|\{\{1,2\},3\}|=2\)، لأن المجموعة الداخلية عنصر واحد.
تطبيقات
يستعمل العدد الرئيس في الاحتمالات والإحصاء وقواعد البيانات: عدد النواتج الممكنة، وعدد الطلاب في فئة، وعدد العناصر المختلفة بعد حذف التكرار.