القطع المكافئ: الصورة القياسية والبؤرة والدليل
التعريف
القطع المكافئ هو مجموعة النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة وعن مستقيم ثابت يسمى الدليل. هذا التعريف مهم لأنه يفسر شكل المنحنى وليس مجرد معادلة نحفظها.
الصورة القياسية
إذا كان رأس القطع المكافئ عند (h,k) ومحوره رأسيًا، فالصورة القياسية هي (x-h)2=4p(y-k). وإذا كان محوره أفقيًا، فالصورة هي (y-k)2=4p(x-h). قيمة p تحدد اتجاه الفتح وبعد البؤرة عن الرأس.
الرأس والبؤرة والدليل
في الصورة الرأسية (x-h)2=4p(y-k) يكون الرأس (h,k)، والبؤرة (h,k+p)، والدليل y=k-p. إذا كانت p موجبة فتح القطع للأعلى، وإذا كانت سالبة فتح للأسفل.
مثال محلول 1
حدد الرأس والبؤرة والدليل للمعادلة (x-2)2=12(y+1). نقارنها مع (x-h)2=4p(y-k). نجد h=2 وk=-1 و4p=12، إذن p=3. الرأس (2,-1)، البؤرة (2,2)، والدليل y=-4.
مثال محلول 2
إذا كان الرأس (0,0) والبؤرة (0,5)، فإن p=5، والمعادلة هي x2=20y.
تنبيه مهم
لا تخلط بين p و4p. في المعادلة يظهر 4p، أما البؤرة والدليل فيستخدمان p فقط.
خلاصة سريعة
هذا الدرس يساعد الطالب على فهم فكرة السؤال قبل اختيار القانون. أفضل طريقة للمذاكرة هي حل مثالين على الأقل بعد قراءة القاعدة، ثم مقارنة الخطوات لا الناتج فقط.